Campo eléctrico nulo

Datos
q₁=3 µC = 3·10^-6 C
q₂= 6 µC = 6·10^-6 C
d = 2 m

Consideraciones Previas

• Si llamamos r₁ a la distancia entre q₁ y el punto y r₂ a la distancia entre q₂ y ese mismo punto, se cumple que r₁+r₂ = 2m. 
• Si ${\overrightarrow{u}}_{r1}$ es un vector unitario que une q₁ con el punto, entonces ${\overrightarrow{u}}_{r1}=\overrightarrow{i}$ y si ${\overrightarrow{u}}_{r2}$ es un vector unitario que une q₂ con el punto, entonces ${\overrightarrow{u}}_{r2}=-\overrightarrow{i}$.
• El valor que debemos calcular es r₂.

Resolución

Si denominamos ${\overrightarrow{E}}_1$ y ${\overrightarrow{E}}_1$ al campo creado por q₁ y q₂ respectivamente de forma aislada en cualquier punto, la intensidad del campo eléctrico creado por esas dos misma cargas de forma conjunta es:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{E}={\overrightarrow{E}}_1+{\overrightarrow{E}}_2 \Rightarrow \\ \overrightarrow{E}=K·\frac{q_1}{{r_1}^2}·{\overrightarrow{u}}_{r1}+K·\frac{q_2}{{r_2}^2}·{\overrightarrow{u}}_{r2} \end{gathered}$$

Sabemos que existe un punto en la recta donde $\text{msub}$ = 0, por tanto:

$$\begin{gathered} 0=\cancel{K}·\frac{q_1}{{r_1}^2}·{\overrightarrow{u}}_{r1}+\cancel{K}·\frac{q_2}{{r_2}^2}·{\overrightarrow{u}}_{r2}\Rightarrow \\ \frac{q_1}{{r_1}^2}·{\overrightarrow{u}}_{r1}=-\frac{q_2}{{r_2}^2}·{\overrightarrow{u}}_{r2} \end{gathered}$$

Si tenemos en cuenta que ${\overrightarrow{u}}_{r1}=\overrightarrow{i}$, ${\overrightarrow{u}}_{r2}=-\overrightarrow{i}$ y r₁+r₂=2:

$$\begin{gathered} \frac{q_1}{(2-r_2{)}^2}·\cancel{\overrightarrow{i}}=-\frac{q_2}{{r_2}^2}·-\cancel{\overrightarrow{i}} \Rightarrow \\ (q_2-q_1)·{r_2}^2-4·q_2·r_2+4·q_2 = 0 \Rightarrow \\ 3·{10}^{-6}·{r_2}^2-24·{10}^{-6}·r_2+24·{10}^{-6}=0 \end{gathered}$$

Resolviendo esta ecuación de segundo grado, obtenemos que:

$$r_2=\left\{\begin{array}{l}6.83 m\\ 1.17 m\end{array}\right.$$

Si te paras a pensar, Si r₂ es mayor que 2 no se encontrará entre las dos cargas, por tanto la solución es:

$$\boxed{r_2=1.17 m}$$