Velocidad de escape a cierta altura

Datos

• Altura sobre la Tierra desde la que se quiede lanzar el cuerpo: h = 40000 km = 4·10⁷ m
• Radio de la Tierra: R_T = 6371 km = 6371·10³ m
• Masa de la Tierra: M_T = 5.97·10²⁴ kg

Resolución

En primer lugar, es importante saber a qué distancia de la Tierra se encuentra el cuerpo. R=R_T+h

Para determinar la velocidad de escape partimos del hecho de que la energía mecánica se conserva, ya que el cuerpo está únicamente sometido a la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa). Además, consideraremos que el cuerpo escapa del campo en el infinito, a donde llega con energía cinética igual a cero, es decir, sin velocidad. Por tanto:

$$\begin{gathered} E_{m_{\infty }}=E_{m_{R_T+h}}\Rightarrow \cancel{E_{c_{\infty }}+E_{p_{\infty }}}=E_{c_{R_T+h}}+E_{p_{R_T+h}}\Rightarrow E_{c_{R_T+h}}=-E_{p_{R_T+h}}\Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{1}{2}·m·{v_e}^2=G·\frac{M_T·m}{R_T+h}\Rightarrow v_e=\sqrt{\frac{2·G·M_T}{R_T+h}}=\sqrt{\frac{2·6.67·{10}^{-11}·5.97·{10}^{24}}{\left(6371+40000\right)·{10}^3}}=4.14·{10}^3 m/s \end{gathered}$$