Trayectoria y Ecuación de Posición

La trayectoria es la línea geométrica que describen los cuerpos al moverse. En este apartado vamos a estudiar:

• Qué es la ecuación de posición y su relación con la trayectoria
• Los principales tipos de ecuaciones de trayectoria que existen

Concepto de trayectoria y ecuación de posición

Cuando un cuerpo se desplaza desde un punto a otro, lo hace describiendo una línea geométrica en el espacio. A esa línea geométrica se le denomina trayectoria, y está formada por las sucesivas posiciones del extremo del vector posición a lo largo del tiempo. Es, por tanto, frecuente encontrar las coordenadas x, y y z del vector de posición escritas en función del tiempo como x(t),y(t) y z(t) para representar la evolución de la posición los cuerpos a lo largo del tiempo.

En el caso de aquellos problemas en los que sólo estés trabajando en dos dimensiones, puedes simplificar las fórmulas anteriores eliminando la componente z. De esta manera, la ecuación de posición en dos dimensiones queda $\overrightarrow{r}\left(t\right)=x\left(t\right)\overrightarrow{i}+y\left(t\right)\overrightarrow{j}+\cancel{z\left(t\right)\overrightarrow{k}} =x\left(t\right)\overrightarrow{i}+y\left(t\right)\overrightarrow{j}$ . En la siguiente animación se ilustra el concepto de la ecuación de posición o ecuación de trayectoria.

Tipos de ecuación de trayectoria

Además de la expresión anterior, existen otras formas de expresar la trayectoria del movimiento de un cuerpo. A continuación señalamos otros tipos de ecuaciones de posición o ecuaciones de trayectoria: 

• Ecuaciones de la trayectoria paramétricas: Se establece cada una de las coordenadas en función del tiempo en la forma x=x(t), y=y(t), z=z(t). Por ejemplo, las coordenadas paramétricas de un cuerpo que se desplaza en el plano x-y pueden ser:
  • x=t+2
  • y=t²
• Ecuación de la trayectoria explícita: Se obtiene eliminando el parámetro t de las expresiones anteriores y despejando una variable en función de la otra. En el caso de nuestro ejemplo nos quedaría:
  • $x=t+2 \Rightarrow t=x-2$
  • $y=t^2\Rightarrow \mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}$
• Ecuación de trayectoria implícita: Se obtiene haciendo f(x,y)=0.
  • $(x-2{)}^2-y=0$

Tomemos el siguiente ejemplo, imagina que un tren se desplaza en dirección este a razón de 50 metros cada segundo. En el primer segundo el cuerpo se encuentra a 50 metros del origen. En el segundo 2, el tren se encuentra a 100 m del origen y así sucesivamente. Por tanto podríamos escribir:

• La coordenada x del movimiento en función del tiempo: $x=50t$ m
• Su ecuación de posición: $\overrightarrow{r}=50t\overrightarrow{i}$ m
• La distancia al origen, dada por el módulo del vector de posición: $\left|\overrightarrow{r}\right|=50t$