Ecuaciones Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.)

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v), es un movimiento rectilíneo con aceleración constante, y distinta de cero. En este apartado vamos a estudiar:

• El concepto y las propiedades del m.r.u.a.
• Las ecuaciones del m.r.u.a.
• Cómo deducirlas
• El teorema de Merton

Concepto de m.r.u.a.

Encontrar el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) en tu día a día es bastante común. Un objeto que dejas caer y no encuentra ningún obstáculo en su camino (caída libre) ó un esquiador que desciende una cuesta justo antes de llegar a la zona de salto, son buenos ejemplos de ello. El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) es también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v) y cumple las siguientes propiedades:

• La trayectoria es una línea recta y por tanto, la aceleración normal es cero
• La velocidad instantánea cambia su módulo de manera uniforme: aumenta o disminuye en la misma cantidad por cada unidad de tiempo. Esto implica el siguiente punto
• La aceleración tangencial es constante. Por ello la aceleración media coincide con la aceleración instantánea para cualquier periodo estudiado ($a=a_m$ )

Observa que, aunque coloquialmente hacemos distinción entre un cuerpo que acelera y otro que frena, desde el punto de vista de la Física, ambos son movimientos rectilíneos uniformemente variados. La única diferencia es que mientras que uno tiene una aceleración positiva, el otro la tiene negativa.

Ecuaciones de M.R.U.A.

Aunque las anteriores son las ecuaciones principales del m.r.u.a. y las únicas necesarias para resolver los ejercicios, en ocasiones resulta útil contar con la siguiente expresión: 

$$v^2=v_0^2+2·a·∆x$$

La fórmula anterior permite relacionar la velocidad y el espacio recorrido conocida la aceleración y puede ser deducida de las anteriores, tal y como puede verse a continuación.

$$\left\{\begin{array}{l}v=v_0+a·t\\ x=x_0+v_0·t+\frac{1}{2}·a·t^2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}t=\frac{v-v_0}{a}\\ ∆x=v_0·t+\frac{1}{2}·a·t^2\Rightarrow ∆x=v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac{1}{2}·a·{\left(\frac{v-v_0}{a}\right)}^2\end{array}\right.;$$

$$2·a·∆x=v^2-v_0^2$$

Deducción ecuaciones m.r.u.a.

Para deducir las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.) hay que tener en cuenta que:

• La aceleración normal vale cero: $a_n=0$
• La aceleración media, la aceleración instantánea y la aceleración tangencial tienen el mismo valor: $a=a_m=a_t=\text{cte}$

Con esas restricciones nos queda:

$$\left.\begin{array}{c}{a}_m=a\\ a_m=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v-v_0}{t-t_0}\underset{t_0=0}{\underbrace{=}}\frac{v-v_0}{t}\end{array}\right\}\to v-v_0=a\cdot t\to \boxed{v=v_0+a\cdot t}$$

Esta primera ecuación relaciona la velocidad del cuerpo con su aceleración en cualquier instante de tiempo y se trata de una recta (v) cuya pendiente coincide con la aceleración y cuya coordenada y en el origen es la velocidad inicial (v₀). Nos faltaría por obtener una ecuación que nos permita obtener la posición. Para deducirla hay distintos métodos. Nosotros usaremos el teorema de la velocidad media o teorema de Merton: 

"Un cuerpo en movimiento uniformemente acelerado recorre, en un determinado intervalo de tiempo, el mismo espacio que sería recorrido por un cuerpo que se desplazara con velocidad constante e igual a la velocidad media del primero"

Esto implica que:

$$∆x=v_m\cdot t$$

El valor de la velocidad media, en el caso de que la aceleración sea constante, se puede observar claramente en la siguiente figura:

$$v_m=\frac{v+v_0}{2}$$

Si desarrollamos las ecuaciones vistas hasta ahora obtenemos la ecuación de la posición en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) o movimiento rectilíneo uniformemente variado (m.r.u.v.):

$$∆x=x-x_0=v_m\cdot t\stackrel{1}{\overbrace{=}}\frac{v+v_0}{2}t\stackrel{2}{\overbrace{=}}\frac{v_0+at+v_0}{2}t=\frac{2v_0+at}{2}t=\frac{2}{2}{v}_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}\Rightarrow \boxed{x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2}$$

Donde hemos aplicado:

1. $$v_m=\frac{v+v_0}{2}$$

2. $$v=v_0+a\cdot t$$

Por último, indicarte que en las ecuaciones anteriores se ha considerado que el movimiento se realiza en el eje x. Si nos moviéramos en el eje y, por ejemplo en los movimientos de caída libre o de lanzamiento vertical, simplemente sustituirías la x por la y en la ecuación de posición, quedando: