Centro de masas de 4 partículas en un plano

Datos

• m₁ = 1/2 kg
• m₂ = 3 kg
• m₃ = 2 kg
• m₄ = 3/2 kg
• ${\overrightarrow{r}}_1=0 m$
• ${\overrightarrow{r}}_2=3·\overrightarrow{i}+5·\overrightarrow{j} m$
• ${\overrightarrow{r}}_3=6·\overrightarrow{i}$ 
• ${\overrightarrow{r}}_4=-2·\overrightarrow{i}+2·\overrightarrow{j} m$

Consideraciones previas

• Se nos indica que las distancias entre las partículas son rígidas. Es por tanto un sólido rígido y tiene sentido que nos preguntemos por el centro de masas.
• Todas las partículas se encuentran en un plano, por lo que podemos despreciar la coordenada z (z = 0 en todas)

Resolución

La posición del centro de masas viene dada por:

Por tanto, aplicando a nuestras 4 partículas, separando las coordenadas x e y nos queda:

$$\begin{gathered} x_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1·x_1+m_2·x_2+m_3·x_3+m_4·x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}·0+3·3+2·6+{\displaystyle \frac{3}{2}}·\left(-2\right)}{{\displaystyle \frac{1}{2}}+3+2+{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\frac{18}{7} m \\ {y}_{\mathrm{CM}}=\frac{m_1·y_1+m_2·y_2+m_3·y_3+m_4·y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}·0+3·5+2·0+{\displaystyle \frac{3}{2}}·\left(2\right)}{{\displaystyle \frac{1}{2}}+3+2+{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\frac{18}{7} m \end{gathered}$$ 

Es decir, el vector de posición del centro de masas es:

$${\overrightarrow{r}}_{\mathrm{CM}}=\frac{18}{7}·\overrightarrow{i}+\frac{18}{7}·\overrightarrow{j}m=\left(\frac{18}{7},\frac{18}{7}\right) m$$