Cargas en un triángulo equilatero

Datos

K = 9·10⁹ N·m²/C²
r₁₃ = r₁₂ = r₂₃ = 50 cm = 0.5 m

q₁ = -2 µC = -2·10^-6 C
q₂ = -6 µC = -6·10^-6 C
q₃ = 4 µC = 4·10^-6 C

Resolución

Antes de comenzar a resolver el ejercicio, lo ideal es elegir un sistema de referencia y situar dichas cargas dentro del sistema. Por simplicidad, posionaremos el origen de coordenadas encima de q₁.

Si observamos la figura nos daremos cuenta de que la posición de q₁ y q₂ es:

• q₁ (0,0) m
• q₂ (0.5,0) m

Sin embargo, calcular la posición de q₃ no es algo tan trivial. La componente x será la mitad de la distancia entre q₁ y q₂ (x = 0.25 m) y para calcular la componente y tendremos que hacer uso de la definición de coseno (o alternativamente del teorema de Pitágoras) teniendo en cuenta que en un triángulo equilatero todos sus ángulos poseen 60º y que cada triángulo equilatero se puede descomponer en dos triángulos rectángulos. Girando uno de ellos obtenemos: 

De esta forma para calcular la altura (b) a la que se encuentra la carga q₃, basta con aplicar la definición de coseno:

$$\begin{gathered} \cos 30º=\frac{b}{0.5 m}\Rightarrow \\ b=0.5 m·\cos 30º \Rightarrow \\ \underline{b =0.43 m} \end{gathered}$$

Por tanto la posición de nuestras cargas es:

• q₁ (0,0) m
• q₂ (0.5,0) m
• q₃ (0.25,0.43) m

Aplicando el principio de superposición de fuerzas eléctricas, la fuerza (F3) que actúa sobre q₃ será la suma vectorial de:

• la fuerza que ejerce q₁ sobre q₃ (${\overrightarrow{F}}_{1,3}$). Como q₁ y q₃ tienen distinto signo, ${\overrightarrow{F}}_{1,3}$ será atractiva.
• la fuerza que ejerce q₂ sobre q₃ (${\overrightarrow{F}}_{2,3}$). Como nuevamente q₂ y q₃ tienen distinto signo, ${\overrightarrow{F}}_{2,3}$ será atractiva.

$${\overrightarrow{F}}_3={\overrightarrow{F}}_{1,3}+{\overrightarrow{F}}_{2,3}$$

Estudiando cada fuerza por separado tenemos que:

Fuerza ${\overrightarrow{F}}_{1,3}$

$${\overrightarrow{F}}_{1,3}=K·\frac{q_1·q_3}{{r_{1,3}}^2}·{\overrightarrow{u}}_{1,3}$$

De todos los valores que necesitamos para calcular ${\overrightarrow{F}}_{1,3}$, nos falta ${\overrightarrow{u}}_{1,3}$. Sin embargo sabemos que ${\overrightarrow{u}}_{1,3}$ es un vector unitario de ${\overrightarrow{r}}_{1,3}$, por lo que:

$${\overrightarrow{u}}_{1,3}=\frac{{\overrightarrow{r}}_{1,3}}{r_{1,3}}$$

Como conocemos la posición de q₁ y q₃, conocemos los puntos extremo y origen del vector ${\overrightarrow{r}}_{1,3}$. Aplicando el concepto de vector:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{r}}_{1,3}=(q_{3x}-q_{1x})·\overrightarrow{i}+(q_{3y}-q_{1y})·\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{r}}_{1,3}=\hspace{0.17em}(0.25-0)·\overrightarrow{i}+(0.43-0)·\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ \underline{{\overrightarrow{r}}_{1,3}=\hspace{0.17em}0.25·\overrightarrow{i}+0.43·\overrightarrow{j}} \end{gathered}$$

De aquí sabemos que:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{u}}_{1,3}=\frac{{\overrightarrow{r}}_{1,3}}{r_{1,3}}=\frac{0.25·\overrightarrow{i}+0.43·\overrightarrow{j}}{0.5}\Rightarrow \\ \underline{{\overrightarrow{u}}_{1,3}=0.5·\overrightarrow{i}+0.86·\overrightarrow{j}} \end{gathered}$$

Por tanto:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_{1,3}=K·\frac{q_1·q_3}{{r_{1,3}}^2}·{\overrightarrow{u}}_{1,3} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{F}}_{1,3}=9·{10}^9·\frac{-2·{10}^{-6}·4·{10}^{-6}}{0.5^2}·(0.5·\overrightarrow{i}+0.85·\overrightarrow{j}) \Rightarrow \\ \underline{{\overrightarrow{F}}_{1,3}=-0.14·\overrightarrow{i}-0.24·\overrightarrow{j} N} \end{gathered}$$

Fuerza ${\overrightarrow{F}}_{2,3}$

Aplicando los mismos pasos que para la fuerza anterior:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_{2,3}=K·\frac{q_2·q_3}{{r_{2,3}}^2}·{\overrightarrow{u}}_{2,3}\Rightarrow \\ {\overrightarrow{F}}_{2,3}=K·\frac{q_2·q_3}{{r_{2,3}}^2}·\frac{{\overrightarrow{r}}_{2,3}}{r_{2,3}}\Rightarrow \\ {\overrightarrow{F}}_{2,3}=9·{10}^9·\frac{-6·{10}^{-6}·4·{10}^{-6}}{0.5^2}·\frac{(0.25-0.5)·\overrightarrow{i}+(0.43-0)·\overrightarrow{j}}{0.5}\Rightarrow \\ \underline{{\overrightarrow{F}}_{2,3}=0.43·\overrightarrow{i}-0.74·\overrightarrow{j }N} \end{gathered}$$

Una vez que hemos calculado ambas fuerzas, ya estamos en disposición de calcular la fuerza resultante que ejercen q₁ y q₂ sobre q₃:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{F}}_3={\overrightarrow{F}}_{1,3}+{\overrightarrow{F}}_{2,3} \Rightarrow \\ {\overrightarrow{F}}_3=(-0.14+0.43)·\overrightarrow{i}+(-0.74-0.24)·\overrightarrow{j} \Rightarrow \\ \boxed{{\overrightarrow{F}}_3= 0.29·\overrightarrow{i}-0.98·\overrightarrow{j} N} \end{gathered}$$

Por ultimo, para obtener su valor numérico calcularemos su módulo:

$$\begin{gathered} F_3=\sqrt{0.{29}^2+(-0.98{)}^2} \Rightarrow \\ \boxed{F_3 =\hspace{0.17em}1.02 N} \end{gathered}$$