Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90º o π/2 rad). El teorema de Pitágoras que vamos a estudiar en este apartado relaciona los tres lados de cualquier triángulo rectángulo.

Triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo se denomina hipotenusa al lado de mayor longitud. La hipotenusa se sitúa siempre frente al ángulo recto. Los otros dos lados se denominan catetos y son contiguos al ángulo recto. Si hay un cateto de mayor longitud que otro, este se suele denominar cateto mayor, y al de menor longitud cateto menor.

En este apartado vamos a estudiar:

Su enunciado
Una interpretación geométrica del mismo, que nos va a permitir comprobarlo
Sus aplicaciones

¿Preparado?

Definición

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa h es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Así pues, el teorema nos permite conocer cualquier lado de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a = \sqrt{b^{2} + c^{2}}$
$b^{2} = a^{2} - c^{2} \Rightarrow b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$
$c^{2} = a^{2} - b^{2} \Rightarrow c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Recuerda, la hipotenusa es el mayor de los lados, por lo que el radicando de la raices anteriores (a²-b² ó a²-c²) nunca puede ser negativo.

Interpretación geométrica

Podemos hacer una interpretación geométrica del teorema de Pitágoras. Observa la siguiente simulación en la que hacemos una comprobación del teorema.

Experimenta y Aprende

Datos
S_A=A²= | S_B=B²= | S_C=C²=
S_B+S_C=

Teorema de Pitágoras

La figura muestra un triángulo rectángulo. El cuadrado azul, de superficie S_A, corresponde al cuadrado cuyo lado es igual a la hipotenusa A del triángulo. El cuadrado rojo, de superficie S_B, corresponde al cuadrado cuyo lado es igual al cateto B. El cuadrado verde, de superficie S_C, corresponde al cuadrado cuyo lado es igual al cateto C.

Haciendo una interpretación geométrica del teorema de Pitágoras podemos decir que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, como se ve en la sección de Datos. Dicho de otra manera, el área del cuadrado azul corresponde con la suma de las áreas de los cuadrados verde y rojo.

Puedes deslizar los puntos rojo y verde para cambiar las longitudes de los catetos asociados.

Nota: Las pequeñas diferencias numéricas entre S_A y S_B+S_C corresponden a errores de redondeo al realizar los cálculos. Por otro lado, se han especificado valores numéricos sin unidades. Todas las longitudes de los catetos se deberían medir en unidades lineales (por ejemplo m o cm), y las áreas en unidades cuadradas (por ejemplo m² o cm²)

Recuerda que el área S_triángulo de cualquier triángulo viene dada como el producto de su base b por su altura h dividido entre dos.

$S_{triángulo} = \frac{b \cdot h}{2}$

En un triángulo rectángulo lo más sencillo es considerar la base uno de los catetos, y la altura el otro.

Aplicaciones

Cuentan de Pitágoras que era un sabio algo excéntrico, hasta el punto de fundar su propia escuela pitagórica, una comunidad religiosa en la que se enseñaban y estudiaban las matemáticas. Fue precisamente la encargada de la demostración del teorema de Pitágoras, de ahí su nombre, aunque se sabe que civilizaciones anteriores ya conocían algunas aplicaciones concretas.

Triángulo sagrado en las pirámides de egipcias

La primera gran pirámide que se construyó es la de Kefrén, datada en el S.XXVI a. C.. Su construcción está basada en el triángulo sagrado egipcio, aquel de proporciones 3, 4 y 5. Se trata por tanto de un triángulo rectángulo ya que cumple con el teorema de Pitágoras: 5²= 3²+ 4². Los arqueólogos de nuestra imagen deberían estar al tanto.

En la actualidad, y en este nivel educativo, puedes utilizar el teorema de Pitágoras para:

Y ahora... ¡Ponte a prueba!

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

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