Producto de un Vector por un Escalar

Representación gráfica

Al multiplicar un vector $\overrightarrow{a}$ por un escalar (número)  $\lambda$, obtenemos un nuevo vector $\overrightarrow{b}= \lambda · \overrightarrow{a}$ que tiene las siguientes características:

• La dirección de $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ son la misma
• Si $\lambda$ es:
  • positivo. $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ tendrán el mismo sentido
  • negativo. $\overrightarrow{a}$ y $\overrightarrow{b}$ tendrán distinto sentido.
• El módulo de $\overrightarrow{b}$ será el valor absoluto de sumar n veces el módulo de $\overrightarrow{a}$ o lo que es lo mismo $\left|\overrightarrow{b}\right| = \left|\lambda \right| · \left|\overrightarrow{a}\right|$

De esto se desprende una ecuación muy interesante. Y es que, cualquier vector puede expresarse como un producto de un escalar y otro vector. El producto entre su módulo y el vector unitario (modulo 1) que coincide con la dirección y sentido de dicho vector.

$\overrightarrow{a} = \left|\overrightarrow{a}\right|·\overrightarrow{u_a}= a · \overrightarrow{u_a}$

Representación analítica

El producto de un vector $\overrightarrow{a}$ por un escalar $\lambda$, nos da como resultado otro vector cuyas componentes son el producto escalar de $\lambda$ por cada una de las componentes del vector $\overrightarrow{a}$.

$$\lambda · \overrightarrow{a}=(\lambda · a_x) · \overrightarrow{i}+ (\lambda · a_y) · \overrightarrow{j}$$

Calculo del vector unitario

Como vimos anteriormente, todo vector se puede expresar como $\overrightarrow{a}=a · \overrightarrow{u_a}$. Partiendo de esta ecuación se obtiene que:

$$\overrightarrow{u_a}= \left(\frac{a_x}{a}\right) · \overrightarrow{u_x}+\left(\frac{a_y}{a}\right) · \overrightarrow{u_y}$$