Ecuación continua de la recta

Ecuación continua de la recta conocidos un punto y un vector director

Tal y como estudiamos en las ecuaciones paramétricas de la recta, si A(a₁,a₂) es un punto conocido de una recta r que posee un vector director $\overrightarrow{v}=\left(v_1,v_2\right)$ y P(x,y) un punto cualquiera de ella sabemos que sus coordenas x e y son:

$$\left\{\begin{array}{l}x=a_1+\lambda ·v_1\\ y=a_2+\lambda ·v_2\end{array}\right. \lambda \in \mathrm{ℝ}$$

Si despejamos λ en ambas ecuaciones:

$$\lambda =\frac{x-a_1}{v_1} \lambda =\frac{y-a_2}{v_2}$$

y las igualamos obtenemos lo que se denomina ecuación continua de la recta. 

Ecuación continua de la recta conocidos dos puntos de la misma

Si en vez de conocer un punto A y un vector director v de una recta conocemos al menos dos puntos de la misma A y B, también podremos calcular su ecuación continua. Para ello, basta con utilizar ambos puntos para calcular un vector director aplicando la propia definición de vector. De esta forma, un posible vector podría ser  $\overrightarrow{v}=\left(b_1-a_1,b_2-a_2\right)$.

En ocasiones también verás escritas las coordenadas de los puntos A y B como A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂), donde los subíndices 1 y 2 en este caso hacen referencia al primer punto (A) y al segundo punto (B). De esta manera la ecuación queda:

$$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$