Derivación Logarítmica

La derivación logarítmica es una técnica de derivación que nos permite hallar la derivada de una función aplicando las propiedades de los logaritmos. Aunque se puede utilizar para resolver muchos tipos de derivadas, es especialmente útil para las funciones de tipo potencial-exponencial:

$$f\left(x\right)=g{\left(x\right)}^{\varphi \left(x\right)}$$

Como ves, f(x) es una función g(x) elevada a otra función ϕ(x),. No se trata, por tanto de una función potencial, porque el exponente no es un número real constante, ni de una exponencial, porque la base tampoco es constante. De ahí el nombre potencial-exponencial usado.

En ocasiones puedes que veas aplicada directamente la fórmula final a la que hemos llegado:

$$\boxed{f\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)·\left(\varphi \text{'}\left(x\right)·\ln \left(g\left(x\right)\right)+\varphi \left(x\right)·\frac{g\text{'}\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)}$$

Nosotros sin embargo te recomendamos que sigas los pasos indicados, pues es mucho más sencillo e intuitivo que tratar de memorizar semejante fórmula.

Pasos para la derivación logarítmica

De manera sintetizada, la derivación logarítmica consiste en aplicar logaritmos en ambos miembros de la ecuación y derivarlos. Ten presente que, tras aplicar logaritmos debes utilizar sus propiedades para obtener una ecuación más sencilla (desde el punto de vista de la derivación), y tras derivar deberás despejar f'(x).

Ejemplo

Como ejemplo derivaremos la función $f\left(x\right)=x^x$:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^x\underset{\ln \left(\right)=\ln \left(\right)}{\Rightarrow }\ln \left(f\left(x\right)\right)=\ln \left(x^x\right)\underset{\ln \left(a^b\right)=b·\ln \left(a\right)}{\Rightarrow }\ln \left(f\left(x\right)\right)=x·\ln \left(x\right)\underset{D\left(\right)=D\left(\right)}{\Rightarrow }\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=1·\ln \left(x\right)+\frac{x}{x}\Rightarrow \\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)·\left(\ln \left(x\right)+1\right)\Rightarrow \boxed{f\text{'}\left(x\right)=x^x·\left(\ln \left(x\right)+1\right)} \end{gathered}$$

Otro tipo de funciones

En este nivel educativo nos centraremos sobre todo en la aplicación de la derivación logarítmica para las funciones potenciales-exponenciales. Sin embargo, estas no son las únicas que pueden "beneficiarse" de la derivación logarítmica.

Así, al tomar logaritmos puedes también convertir los productos y cocientes en sumas y restas respectivamente. De esta manera, en ocasiones derivar la función con logaritmos será más sencillo que derivar la propia función. Se trata, como hasta ahora, de derivar el logaritmo de la función, como si conociéramos cual es la derivada de la función, y despejarla en la expresión resultante (especialmente con 3 o más factores). Veámoslo mediante un ejemplo. Derivaremos la función $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x^2+3}\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[3]{x^2}}$:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x^2+3}\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[3]{x^2}}\Rightarrow \ln \left(f\left(x\right)\right)=\ln \left(\frac{\sqrt{2x^2+3}\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[3]{x^2}}\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow \ln \left(f\left(x\right)\right)=\ln \left(\sqrt{2x^2+3}\right)+\ln \left(\sqrt[3]{x^2+1}\right)-\ln \left(\sqrt[3]{x^2}\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow \ln \left(f\left(x\right)\right)=\frac{1}{2}\ln \left(2x^2+3\right)+\frac{1}{3}\ln \left(x^2+1\right)-\frac{1}{3}\ln \left(x^2\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow \frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{4x}{2\left(2x^2+3\right)}+\frac{2x}{3\left(x^2+1\right)}-\frac{2x}{3x^2}\Rightarrow \\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x^2+3}\sqrt[3]{x^2+1}}{\sqrt[3]{x^2}}\left(\frac{4x}{2\left(2x^2+3\right)}+\frac{2x}{3\left(x^2+1\right)}-\frac{2x}{3x^2}\right) \end{gathered}$$

Finalmente, como curiosidad, observa que esta técnica también es válida para obtener la derivada de funciones potenciales con un exponente real. Así:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2\underset{\ln \left(\right)=\ln \left(\right)}{\Rightarrow }\ln \left(f\left(x\right)\right)=\ln \left(x^2\right)\underset{\ln \left(a^b\right)=b·\ln \left(a\right)}{\Rightarrow }\ln \left(f\left(x\right)\right)=2·\ln \left(x\right)\underset{D\left(\right)=D\left(\right)}{\Rightarrow }\frac{f\text{'}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=0·\ln \left(x\right)+2·\frac{1}{x}\Rightarrow \\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)·\left(\frac{2}{x}\right)\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=x^2·\left(\frac{2}{x}\right)\Rightarrow \boxed{f\text{'}\left(x\right)=2x} \end{gathered}$$