Derivada de una Función

La derivada de una función f(x), o función derivada de f(x), es aquella función, denotada f'(x), que asocia a cada x la rapidez de cambio de la función original f(x) en ese punto, es decir, su tasa de variación instantánea. Las derivadas son herramientas fundamentales en todas las ciencias, incluida la física. Vamos a estudiarla a través de los siguientes puntos:

• Concepto
• Definición
• Interpretación geométrica
• Derivadas sucesivas
• Notaciones
• Aplicaciones

Antes de comenzar, te recomendamos que te familiarices, además de con el concepto de tasa de variación instantánea, con el de tasa de variación media. Son dos ideas sencillas que te van a permitir entender sin problemas las derivadas. 

¿Empezamos?

Concepto

Ya sabes que la tasa de variación instantánea de f(x) en un punto a, T.V.I.(a), nos dice la rapidez de cambio de f(x) en ese punto. A esa tasa de variación instantánea de f(x) en el punto también se le llama derivada de la función en el punto, y se denota habitualmente f'(a). Así, pues:

$$\boxed{T.V.I.\left(a\right) =f\text{'}\left(a\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\hspace{0.17em}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}$$

Vamos ahora a tratar de generalizar esta idea para cualquier x, y no solo para el punto a. Pensemos en una función concreta, por ejemplo f(x) = x². Podemos confeccionar la siguiente tabla:

Como ves, a partir de f(x) hemos desarrollado otra función con el valor de la tasa de variación instantánea de f en cada abscisa x y la hemos llamado f'(x). Bueno... realmente solo tenemos los valores de f'(x) en algunas abscisas (x=-2, x=-1, x=0, x=1 y x=2). Si somos capaces encontrar la expresión de la función que pase por esos puntos, habremos encontrado la función derivada de f para cualquier x (y no solo para a).

Concepto de función derivada

En rojo, la gráfica de la función f(x)=x². Los puntos azules representan el valor de la derivada de f(x) en cada abscisa considerada. Parece razonable pensar que la ubicación de esos puntos vendrá dada por la recta azul y= 2·x, con lo que podemos decir que la función derivada de f(x) es f'(x)=2·x.

Con estas ideas en mente ya podemos definir formalmente la función derivada y enseñarte a calcularla de manera sistemática.

Definición

Como ves, se trata de la tasa de variación media, cuando el intervalo considerado tiende a una longitud 0 y su extremo inferior se encuentra en un valor genérico x.

Volviendo a la función de nuestro ejemplo f(x)=x², podemos calcular su función derivada aplicando la definición:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\left(x+h\right)}^2-x^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{x^2}+2xh+h^2-\cancel{x^2}}{h}= \\ =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cancel{h}\left(2x+h\right)}{\cancel{h}}=2x\Rightarrow \boxed{f\text{'}\left(x\right)=2x} \end{gathered}$$

Que es, justamente, el resultado que habíamos deducido a partir de la tabla anterior.

Interpretación geométrica

Geométricamente, la derivada de una función en el punto a es la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto:

Representación gráfica de la derivada

En negro, la recta tangente a la función en el punto de abscisa a. El valor de su pendiente, m, es, precisamente, el valor de la la derivada en ese punto f'(a). Observa que, en 1, la función es creciente en el punto considerado, siendo f'(a) > 0. En cambio, en 2, la función es decreciente y f'(a) < 0.

Ahora bien si esta es la interpretación de la derivada de una función en un punto, ¿qué representa la función derivada?

Interpretación geométrica de la función derivada

La función derivada es aquella que, para cada valor de x nos devuelve el valor de la pendiente de la recta tangente a la función de la cual deriva. Así, en la ilustración 1, tenemos f(x)=x², f'(x)=2x y x=-1. La recta tangente, en verde, tiene por pendiente -2 (observa en el grid que por cada unidad horizontal hay un descenso de 2 unidades verticales). Es justamente el valor de f'(-1). A la derecha consideramos la misma función, pero en x=1.5. El valor de la derivada es 3, significando que la pendiente de la recta tangente es justamente 3.

Derivadas sucesivas

Es posible calcular la derivada de la derivada de una función, y a su vez volver a calcular la derivada de la función resultante. Puedes repetir este proceso tantas veces como quieras. De esta manera, tendríamos la primera derivada f'(x), la segunda derivada f''(x), la tercera derivada f'''(x) y así sucesivamente.

Originalmente, la notación de estas derivadas sucesivas consistía en ir añadiendo de superíndice números romanos que indicaban el orden de la derivada, por ejemplo f^II para la derivada segunda y f^V para la derivada quinta. No obstante en la actualidad se añade un símbolo prima (') a f(x) hasta la tercera derivada, y a partir de ahí sí que se utilizan números romanos.

Volviendo a la función de nuestro ejemplo, su derivada segunda queda:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^2 ;\hspace{0.17em}f\text{'}\left(x\right)=2x \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\text{'}\left(x+h\right)-f\text{'}\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\left(x+h\right)-2x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\cancel{h}}{\cancel{h}}=2\Rightarrow \boxed{f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2} \end{gathered}$$

Notaciones

A lo largo de la historia se han utilizado distintas notaciones para representar la derivada. La utilizada hasta ahora, f' fue propuesta por Lagrange (1736 - 1813) y es el símbolo para referirnos a la función derivada de f. Como "extensión" de la misma, en ocasiones se identifica f con y, y se escribe y' (si f(x)=y, entonces f'(x)=y').

Es también muy habitual que veas la notación Df. Dicha notación, propuesta por Euler no designa la función derivada, sino que se trata de un operador, es decir, es la orden de derivar la función f. De esta manera, Df=f'.

Otra notación habitual, especialmente en ciencias, es debida a Leibniz (1646 - 1716) y consiste en representar la derivada como un cociente del incremento infinitesimal (esto es, un incremento infinitamente pequeño) de dos magnitudes. Así, si utilizábamos el símbolo ∆ para designar un incremento (por ejemplo ∆x es incremento de x), utilizamos el signo d para designar un incremento infinitamente pequeño (por ejemplo dx significa incremento infinitesimal de x), y nos queda la derivada como:

$$\frac{∆y}{∆x}\Rightarrow \frac{dy}{dx}$$

Esta notación es de particular interés para el caso de las derivadas parciales, esto es, funciones de varias variables que se pueden derivar respecto a cada una de ellas.

Finalmente, aunque menos usada en la actualidad, también podrás encontrar la notación de Newton (1643 - 1727) en la que se coloca un punto sobre el nombre de la función que estamos derivando. Por ejemplo $\stackrel{.}{x}$.

Usos de la derivada

Historicamente, las derivadas surgieron para dar respuesta a problemas de naturaleza aparentemente distinta: el cálculo de la recta tangente a una curva (función) en un punto, y el cálculo de la velocidad instantánea. Una vez sistematizado su estudio, podemos aplicarlo a:

• Cálculo de la recta tangente
• Cálculo de la recta normal
• Representación gráfica de funciones: Nos permiten estudiar el crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad de las funciones
• Variación instantánea de una magnitud respecto a otra. Así pues, la velocidad es la variación de la posición respecto al tiempo, la fuerza que se aplica en un cuerpo es la derivada de su momento lineal respecto al tiempo y un largo etcétera que te invitamos a descubrir visitando los distintos apartados de la web.