Cómo Representar una Función Cualquiera

De una manera intuitiva, representar una función f(x) consiste en ir dando valores a la variable independiente x e ir obteniendo los correspondientes valores de la función y=f(x). Dicho de otro modo, se trata de buscar todos los (x, y)= (x,f(x)) posibles. Este método, consistente en elaborar una tabla de valores, es el que hemos empleado en niveles anteriores, por ejemplo en este ejercicio sobre la representación gráfica.

En este nivel esbozaremos la forma de la gráfica a partir de nuestros conocimientos en límites y derivadas, y emplearemos la tabla de valores sólo como una ayuda adicional cuando queramos ser más precisos en algunos valores de x.

Pasos

Te proponemos que sigas los siguientes pasos, y recojas la información en una tabla:

1. Estudia el dominio de la función. Esto nos va a permitir saber en qué valores de x existe la función y en cuáles no debemos dibujar nada

   

   Concepto de dominio a partir de la gráfica

   Recuerda que el dominio de función puede visualizarse gráficamente como la proyección sobre el eje x de la propia gráfica. Aquellas zonas sombreadas del eje x serían el dominio de la función f(x). En el caso de la función de la imagen, el dominio sería:

   $$\begin{gathered} Do{m}_f=\left(-\infty ,x_1\right)\cup \left(x_1,x_2\right)\cup [x_2,x_3)\cup [x_3,x_4)\cup \left(x_4,x_5\right)\cup (x_5,x_6]\cup \left(x_7,\infty \right)= \\ =\left(-\infty ,x_6\right)\cup \left(x_7,\infty \right)-\left\{x_1,x_{4,}{x}_5\right\} \end{gathered}$$

   • Ejemplo de cálculo de dominio de funciones

2. Estudia la simetría de la función. Si la función es simétrica te bastará representar una mitad, pues la otra podrás obtenerla "reflejando" la primera

   

   Concepto de simetría

   Cuando la función es simétrica, basta estudiar la representación de una mitad (por ejemplo, la mitad en rojo más intenso), y obtener la otra (en rojo más transparente) reflejando la primera. También puedes usar esta información una vez representada la función completa, para verificar que los valores obtenidos para asíntotas, tabla de valores, etc, son correctos.

   • Ejemplo de simetría de funciones

3. Estudia la periodicidad de la función. Las funciones trigonométricas pueden ser simétricas. Si la función es periódica te bastará representar un solo periodo y "replicarlo"

   

   Concepto de función periódica

   La tangente de x es un ejemplo de función periódica. En estos casos podemos representar un sólo periodo, por ejemplo entre -π/2 y π/2, y replicar en el resto.

4. Estudia los puntos de corte con los ejes

   • Puntos de corte con el eje y: Se obtienen haciendo x=0 y despejando y

   • Puntos de corte con el eje x: Se obtienen haciendo y=0 y despejando x. En ocasiones es posible que no sepas resolver la ecuación obtenida al hacer y=f(x)=0. Recuerda que con el teorema de Bolzano siempre puedes aproximar los puntos de corte con el eje x, como veíamos en este ejemplo

     

     Signos de la fución y cortes con los ejes

     Una función puede tener varios cortes con el eje x (en azul), pero como máximo solo tendrá un corte con el eje y (en verde). En los puntos de corte con el eje x, también llamado de abscisas, la función puede cambiar su signo (aunque no necesariamente).Observa que en el caso de que el corte se produzca en el (0,0), se trata de un corte con el eje x e y a la vez.

   Para ralizar los pasos del 1 al 4 anteriores te basta la expresión analítica de la función y no es necesario recurrir a límites ni derivadas.

5. Estudia las ramas infinitas de la función esto es:

   • Sus ramas parabólicas

     

     Concepto de ramas parabólicas

     Recuerda que una función tiene ramas parabólicas cuando $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$, pero no se trata de una asíntota oblicua. Se comportan como si formasen parte de una parábola de eje vertical, oblicuo u horizontal. En 1, función con rama parabólica en la dirección del eje y (vertical). En 2, función con rama parabólica en la dirección del eje x (horizontal).

     • Ejemplo de cálculo de ramas parabólicas

   • Sus asíntotas

     

     Concepto de asíntotas

     Recuerda, una asíntota es una recta a la cual la función se aproxima indefinidamente, pero nunca la toca. Es importante conocer las asíntotas de la función para poder esbozarla.

     • Ejemplo de cálculo de asíntotas

     De una manera práctica, para estudiar qué ocurre cuando x→∞ puedes seguir los siguientes pasos:

     1. Estudia $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)$:

        • Si no existe, ya has concluido

        • Existe asíntota horizontal si $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=h$,y ya has concluido

        • Debes continuar con el paso 2 si $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty$ (puede haber asíntota oblicua)

     2. Estuida $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$

        • Si no existe, no hay asíntota oblicua, y ya has concluido

        • Si $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=0$ ó $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\pm \infty$, la función tiene rama parabólica

        • Si $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=m\ne 0$, puede haber asíntota oblicua y debemos pasar al paso 3

     3. Estudia $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-mx\right)$

        • Si $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-mx\right)=n$, la función tiene por asíntota oblicua y=mx+n

        • Si no existe no hay ramas infinitas

     Puedes proceder análogamente cuando x→-∞.

6. Estudiamos la monotonía y los extremos de la función, a través de la primera derivada f'(x)

   • Ejemplo de cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento así como extremos

7. Estudiamos la curvatura de la función, a través de la segunda derivada f''(x)

   • Ejemplo de cálculo de la curvatura de una función

Con toda la información aterior recogida en una tabla ya puedes realizar un esbozo bastante aproximado de la función. Si deseas mayor precisión en determinados entornos de x, utiliza una tabla de valores.