Ramas Parabólicas de una Función

Una función tiene una rama parabólica si al crecer indefinidamente la x (por la izquierda o por la derecha), crece indefinidamente la función (por arriba o por abajo), pero sin acercarse a ninguna recta en particular. Las ramas parabólicas no son asíntotas de ningún tipo. Más formalmente:

Ramas parabólicas

Gráficamente una función que posee una rama parabólica se comporta como si formase parte de una parábola de eje vertical, oblicuo u horizontal. En 1, función con rama parabólica en la dirección del eje y (vertical). En 2, función con rama parabólica en la dirección del eje x (horizontal).

Tipos

Más concretamente podemos distinguir tres casos:

1. Rama parabólica con eje horizontal

   $$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty \text{ y }\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=0$$

2. Rama parabólica con eje vertical

   $$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty \text{ y }\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\pm \infty$$

3. Rama parabólica con eje oblicuo y=x

   $$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\pm \infty \text{ y } m=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}\ne 0\text{ y} \underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-mx\right)=\pm \infty$$

Donde en todos los casos x→∞ puede ser también x→-∞

En funciones racionales

Hay ramas parabólicas en aquellas funciones racionales, f(x)=P(x)/Q(x), en las que el grado del numerador está dos unidades o más por encima del grado del denominador.

Ejemplo

En la función $$f\left(x\right)=\frac{x^3-x-6}{x-2}$$, el grado de P(x) = 3 y el grado de Q(x)=1. Como 3-1=2 ≥2, no hay asíntota oblicua y, además...

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3-x-6}{x-2}=\infty ;\hspace{0.17em}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle x^3-x-6}}{{\displaystyle x-2}}=\infty$$

...entonces la función presenta una rama parabólica hacia arriba en +∞ y otra en -∞. Concretamente se trata de ramas verticales, ya que:

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\infty \text{y} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\infty \text{y} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=-\infty \end{gathered}$$