Límites Laterales

En la definición de límite de una función en un punto decíamos que era el valor al que se aproximaba la función f(x) cuando la x se acercaba a a. Pero a a, siempre que sea un valor finito, podemos acercarnos por la izquierda, esto es, tomando valores menores que a, o por la derecha, es decir, tomando valores mayores que a. Los límites laterales contamplan precisamente estas dos posibilidades.

Concepto de límites laterales

A la izquierda, en 1, concepto y notación del límite por la izquierda. Observa que, a medida que tomamos valores próximos a a, pero menores que este (fondo verde claro), los correspondientes valores de f(x), en rojo, se aproximan a L_i. Decimos que L_i es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la izquierda.

En 2, el concepto y notación del límite por la derecha. A medida que tomamos valores próximos a a, pero mayores que este (fondo verde oscuro), los correspondientes valores de f(x) se aproximan a L_d. Decimos que L_d es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la derecha.

En este apartado vamos a profundizar sobre la idea de los límites laterales a través de los siguientes puntos:

• Límite por la izquierda
  • Límite infinito
  • Límite menos infinito
  • Límite finito
• Límite por la derecha
  • Límite infinito
  • Límite menos infinito
  • Límite finito
• Cálculo

Además, te proporcionaremos varios ejemplos de todo ello que, esperamos, encuentres de utilidad.

Límite por la izquierda

El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores menores que a. Pueden darse los siguientes casos.

Límite por la izquierda de una función

En 1 te presentamos la notación utilizada para referirnos al límite por la izquierda de una función. En 2, 3 y 4 tenemos tres casos concretos que pueden darse. En 2 el límite por la izquierda es una valor real concreto, L. Observa como el valor del límite no tiene porqué coincidir con el de la función en el punto. En 3, el límite por la izquierda es infinito, y por tanto, a medida que nos aproximamos a a la función crece indefinidamente. En 4, el caso complementario, el límite por la izquierda es menos infinito.

Daremos una definición formal distinguiendo cada uno de esos casos.

Límite infinito

Elementos de la definición

Decimos que $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\infty$ porque para cualquier valor k en el eje y, podemos encontrar un valor δ positivo a partir del cual los valores de las imágenes de cualquier x que se encuentre en el intervalo de fondo verde (intervalo a-δ<x<a) quedan por encima de k.

Límite menos infinito

Elementos de la definición

Decimos que $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ porque para cualquier valor k negativo en el eje y, podemos encontrar un valor δ positivo a partir del cual los valores de las imágenes de cualquier x que se encuentre en el intervalo de fondo verde (intervalo a-δ<x<a) quedan por debajo de k.

Límite finito

Elementos de la definición

Decimos que $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L$ porque para cualquier valor ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un valor δ positivo a partir del cual los valores de las imágenes de cualquier x que se encuentre en el intervalo de fondo verde (intervalo a-δ<x<a) quedan en el interior del entorno de L de radio ε (intervalo de fondo azul).

Nota: Si te resultan confusos los elementos de la definición anterior, visita el apartado de límite de una función en un punto.

Límite por la derecha

El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la derecha es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores mayores que a. Pueden darse los siguientes casos.

Límite por la derecha de una función

En 1 te presentamos la notación utilizada para referirnos al límite por la derecha de una función. En 2, 3 y 4 tenemos tres casos concretos que pueden darse. En 2 el límite por la derecha es una valor real concreto, L. En 3, el límite por la derecha es infinito, y por tanto, a medida que nos aproximamos a a la función crece indefinidamente. En 4, el caso complementario, el límite por la derecha es menos infinito.

Formalmente, también podemos distinguir esos 3 casos.

Límite infinito

Elementos de la definición

Decimos que $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\infty$ porque para cualquier valor k en el eje y, podemos encontrar un valor δ positivo a partir del cual los valores de las imágenes de cualquier x que se encuentre en el intervalo de fondo verde (intervalo a<x<a+δ) quedan por encima de k.

Límite menos infinito

Elementos de la definición

Decimos que $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ porque para cualquier valor k negativo en el eje y, podemos encontrar un valor δ positivo a partir del cual los valores de las imágenes de cualquier x que se encuentre en el intervalo de fondo verde (intervalo a<x<a+δ) quedan por debajo de k.

Límite finito

Elementos de la definición

Decimos que $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ porque para cualquier valor ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un valor δ positivo a partir del cual los valores de las imágenes de cualquier x que se encuentre en el intervalo de fondo verde (intervalo a<x<a+δ) quedan en el interior del entorno de L de radio ε (intervalo de fondo azul).

Nota: De nuevo, recuerda que si te resultan confusos los elementos de la definición anterior, visita el apartado de límite de una función en un punto.

Cálculo

En general, para determinar el valor de los límites laterales se sigue el mismo procedimiento que ya hemos visto para el cálculo del límite de una función en un punto, pero con algunas consideraciones adicionales. Así, si f(x) es una función habitual definida por una sola expresión analítica y que está definida en el entorno de x=a, entonces el valor del límite de la función cuando x tiende a a^- (o a a⁺) es f(a^-)≃f(a) (o f(a⁺)≃f(a)). Por ejemplo:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3^{+}}{\lim }{x}^2={\left(3^{+}\right)}^2=9 \\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }{x}^2={\left(3^{-}\right)}^2=9 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^2={\left(0^{+}\right)}^2=0^{+}=0 \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }{x}^2={\left(0^{-}\right)}^2=0^{+}=0 \end{gathered}$$

Observa que tanto 3⁺, que significa un número un poquito más grande que 3, como 3^-, que significa un número un poquito más pequeño que 3, son, en términos de límite, igual a 3. Atención especial merece el 0, en el que hay que tener en cuenta que 0^- es negativo y 0⁺ es positivo. De ahí que (0^-)²=0⁺.

Por otro lado, puede ocurrir también que:

• f(x) presente un denominador que se anula y un numerador que no se anula en x=a, es decir, una indeterminación del tipo k/0. En este caso, el límite será infinito o menos infinito, según sea la relación entre el signo del numerador y el del denominador. Es importante tener el cuenta el - o el + de a^- o a⁺. Ejemplos:

  $$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{0^{+}}=\infty \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty \\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{3-x}=\frac{1}{3-3^{+}}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty \\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{3-x}=\frac{1}{3-3^{-}}==\frac{1}{0^{+}}=\infty \end{gathered}$$

  Te recomendamos que para saber el resultado de operaciones del tipo 3-3^- sustituyas el valor de 3^- por un número "un poquito más pequeño" que 3 (por ejemplo 3-2.99999 = 0.0001 ≈ 0⁺). Así mismo, debes prestar atención a los números negativos; por ejemplo -2^-≈-2.000001 y -2⁺≈-1.99999, pero 2^-≈ 1.99999 y 2⁺≈2.000001.

• f(x) presente un cambio de rama en x=a. En este caso, tendremos que tomar, para el cálculo, la rama correspondiente al - o el + de a^- o a⁺. Ejemplos:

  $$\text{Si} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x^2+2& \text{si}& x<1\\ \frac{1}{x}& \text{si}& x>1\end{array}\right.\Rightarrow \begin{array}{c}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }3x^2+2=3·{\left(1^{-}\right)}^2+2=5\\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{1^{-}}=1\end{array}$$

Ten presente que el cálculo de los límites laterales también puede conducir a indeterminaciones que se resolverán como hacemos normalmente.