Cálculo del Límite de una Función en un Punto

El límite de la función f(x) cuando x tiende a a es el valor al que se aproxima la función cuando la x se aproxima a a. 

Concepto de límite de una función en un punto

A la izquierda, notación utilizada para referirnos al límite de una función en un punto cuando la x se aproxima a a. A la derecha, el concepto. A medida que tomamos valores próximos a a, tanto por la izquierda como por la derecha, los correspondientes valores de f(x) se aproximan a L.

Por otro lado observa que, en este ejemplo, la función no está definida en x=a (∄f(a)), y sin embargo sí el límite, lo que pone de manifiesto que son conceptos distintos.

En este apartado vamos a estudiar como calcular dicho límite. Además, te daremos ejemplos concretos de aplicación. Estudiaremos los siguientes subapartados:

• Método general
• Funciones continuas
  • Polinómicas
  • Radicales
  • Exponenciales
  • Logarítmicas
  • Seno y coseno
• Funciones racionales
• Funciones a trozos
• Propiedades

Si estás interesado en saber como calcular los límites de una función en infinito o menos infinito, en lugar de en un punto concreto, visita este apartado. Finalmente, una última recomendación antes de empezar: familiarízate con el concepto de infinito y sus operaciones.

Método general

De manera general, podemos decir que el primer paso para la resolución de un límite es sustituir en f(x) el valor hacia el que tiende x. Entonces puedo obtener:

• Un valor concreto
• Una expresión cuyo resultado no se puede conocer. A este tipo de expresiones se les denomina indeterminaciónes o indeterminadas. Por ejemplo, son indeterminaciones 0/0, ∞-∞, y otras muchas que estudiaremos en el apartado correspondiente

Si obtienes un valor concreto, ¡ya está!. Ese es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a. Pero tranquilo, si obtienes una indeterminación, no quiere decir que el límite no exista... solo que debemos resolverla, esto es, encontrar otro camino que haga desaparecer la indeterminación y nos dé el resultado del límite. Cada tipo de indeterminación tiene una manera concreta de resolverse, que estudiaremos en el apartado dedicado a ello.

De momento vamos a estudiar algunos casos sencillos para los que podemos prescindir de la resolución de indeterminaciones.

Funciones continuas

En los puntos en los que las funciones son continuas, el valor del límite coincide con el de la propia función. Aunque aún no hemos estudiado nada sobre la continuidad de las funciones, aprovechamos para adelantarte las siguientes ideas:

• de manera intuitiva sabemos decir si una función es continua en un punto cuando podemos dibujarla 'sin levantar el lápiz del papel en los alrededores de ese punto', y...
• ...decimos que una función es continua (a secas) cuando lo es en todo su dominio, es decir, cuando toda ella puede dibujarse 'sin levantar el lápiz del papel'

La mayoría de las funciones estudiadas son continuas en todos los puntos de su dominio, esto es, los puntos en los que estás definidas, con lo que podemos decir:

Se trata del caso más habitual que estudiaremos, y también el más sencillo. Veamos algunos ejemplos. En ellos, todo lo que tienes que hacer es evaluar la función en el punto. ¿Demasiado sencillo?

Funciones polinómicas

$$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }x+1=f\left(0\right)=0+1=1\\ \underset{x\to 2}{\lim }{x}^2+\frac{1}{5}=f\left(2\right)=4+\frac{1}{5}=\frac{21}{5}\\ \underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^3}{2}-2x=f\left(-1\right)=\frac{{\left(-1\right)}^3}{2}-2\left(-1\right)=\frac{-1}{2}+2=\frac{3}{2}\\ \underset{x\to -2}{\lim }{\left(x+1\right)}^4=f\left(-2\right)={\left(-2+1\right)}^4={\left(-1\right)}^4=1\end{array}$$

Funciones con radicales

$$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{x}=f\left(0\right)=\sqrt{0}=0\\ \underset{x\to -1}{\lim }\sqrt{-x+8}=\sqrt{9}=3\\ \underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-x}{2}=\frac{\sqrt{4}-3}{2}=-\frac{1}{2}\\ \underset{x\to -9}{\lim }\sqrt[3]{3x}+3=-3+3=0\end{array}$$

Funciones exponenciales

$$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }{2}^x=f\left(0\right)=2^0=1\\ \underset{x\to 1}{\lim }{e}^x+\frac{1}{2^x}=e^1+\frac{1}{2^1}=\frac{2e+1}{2}\\ \underset{x\to -1}{\lim }\frac{3^{x^2+2x}}{3}=\frac{3^{{\left(-1\right)}^2+2\left(-1\right)}}{3}=\frac{3^{-1}}{3}=\frac{1}{9}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{x+4}+5^x=\sqrt{0+4}+5^0=2+1=3\end{array}$$

Funciones logarítmicas

$$\begin{array}{c}\underset{x\to 1}{\lim }{\log }_2\left(x+1\right)=f\left(1\right)={\log }_2\left(2\right)=1\\ \underset{x\to 0.1}{\lim }{\log }_{10}\left(x\right)=\log \left(0.1\right)=\log \left(\frac{1}{10}\right)\underset{\log \left(\frac{a}{b}\right)=\log \left(a\right)-\log \left(b\right)}{=}\log \left(1\right)-\log \left(10\right)=0-1=-1\\ \underset{x\to e-1}{\lim }{e}^{1-e+x}+\ln \left(x+1\right)=e^{1-e+e-1}+\ln \left(e\right)=1+1=2\\ \underset{x\to 3}{\lim }\log \left(x+3\right)+\frac{x}{3}=\log \left(3+3\right)+\frac{3}{3}=\log \left(6\right)+1\end{array}$$

Funciones seno y coseno

En el caso de las funciones trigonométricas, se asume, a no ser que se diga lo contrario, que el valor de x está en radianes. Así, tendríamos:

$$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }\cos \left(x\right)=f\left(0\right)=\cos \left(0\right)=1\\ \underset{x\to \frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\lim }\sin \left(x+\mathrm{\pi }\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }\right)=\sin \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)=-1\end{array}$$

Funciones racionales

Cuando tenemos el cociente de dos polinomios $f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ y queremos calcular $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$, comenzamos sustituyendo el valor de a en f(x). Entonces podemos distinguir los siguientes casos:

• El denominador no se anula

  $$\boxed{Q\left(a\right)\ne 0\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P\left(a\right)}{Q\left(a\right)}}$$

  La función es continua en a, y por tanto el límite coincidirá con el valor de la función en el punto, como hemos visto hasta ahora.

  Ejemplos

  $$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3}{x+1}=\frac{3}{0+1}=3\\ \underset{x\to -1}{\lim }\frac{5x^2-1}{x+2}=\frac{5{\left(-1\right)}^2-1}{-1+2}=\frac{4}{1}=4\\ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x+2}=\frac{2-2}{2+2}=\frac{0}{4}=0\end{array}$$

• El denominador se anula

  Al sustituir obtenemos una expresión en la forma k/0 o 0/0 según se anule sólo el denominador o el numerador y el denominador respectivamente. Sabemos que no se puede dividir un número entre 0, tampoco el propio 0. Se trata de 2 tipos de indeterminaciones distintas, cada uno con su propio método de resolución.

  1. $$\boxed{Q\left(a\right)=0 \text{y} P\left(a\right)=k\ne 0\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\left\{\begin{array}{l}\pm \infty \\ \nexists \end{array}\right.}$$

     Tenemos que, a medida que x se acerca a a, P(x) se acerca a un valor concreto (k) y Q(x) se aproxima a 0.

     Observa que, aunque no podemos dividir un numero entre 0, sí que podemos dividirlo entre un número próximo a 0. Por ejemplo:

     • Dividiendo un número positivo entre un número un poquito mayor que cero nos queda un número muy alto: $\frac{3}{0.0001}=30000$
     • Dividiendo un número positivo entre un número un poquito menor que cero nos queda un número muy pequeño: $\frac{3}{-0.0001}=-30000$
     • Dividiendo un número negativo entre un número un poquito mayor que cero nos queda un número muy pequeño: $\frac{-3}{0.0001}=-30000$
     • Dividiendo un número negativo entre un número un poquito menor que cero nos queda un número muy alto: $\frac{-3}{-0.0001}=30000$

     En definitiva, para saber lo que ocurra con la función en las proximidades del valor x=a, en el que se anula el denominador pero no el numerador habrá, que estudiar los límites laterales.

     Para calcular el límite del cociente de dos polinomios en un punto en el que se anula el denominador pero no el numerador, se calculan los límites laterales $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ y $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)$. Estos pueden ser ∞ o -∞.

     • Si ambos límites laterales coinciden, decimos que $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$ existe y vale ∞ o -∞ según sea el valor de los límites laterales
     • Si ambos límites laterales no coinciden, decimos que $\nexists \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$

     Ejemplos

     1.-

     $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1}{x-1}=\left[\frac{2}{0}\right]\Rightarrow \text{No está determinado}$$

     Debemos calcular los límites laterales. Empezamos por el izquierdo:

     $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle x-1}}=\frac{1^{-}+1}{1^{-}-1}=\frac{2}{0^{-}}=-\infty$$

     La forma de razonar en este ejemplo es como sigue: 1^- significa "un número un poquito más pequeño que 1", por ejemplo 0.99999. Si a un número un poco más pequeño que 1 le quitamos 1, nos queda un número un poco más pequeño que cero, esto es, 0^- que podría ser, por ejemplo -0.00001. Al dividir 2 entre un número un poquito más pequeño que 2, como hemos visto anteriormente, nos queda un número muy grande, que "en límites" significa +∞. Observa que realmente en el numerador tendríamos un número "un poquito más pequeño que dos", pero, dado que el numerador no se anula, es indiferente pues no cambia el signo del cociente.

     Ahora, razonando de manera análoga, el límite lateral derecho nos queda:

     $$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle x-1}}=\frac{1^{+}+1}{1^{+}-1}=\frac{2}{0^{+}}=+\infty$$

     Con lo que podemos escribir:

     $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle x-1}}\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle x-1}}\Rightarrow \nexists \underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle x-1}}$$

     

     Función racional. Límites laterales no coincidentes

     Representación de la función de nuestro ejemplo. A la izquierda del punto que anula el denominador la función se va a -∞ (fondo en verde claro) y a la derecha a +∞ (fondo en verde oscuro).

     2.-

     $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1}{{\left(x-1\right)}^2}=\left[\frac{2}{0}\right]\Rightarrow \text{No está determinado}$$

     De nuevo, debemos calcular los límites laterales. Empezamos por el izquierdo:

     $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}=\frac{1^{-}+1}{{\left(1^{-}-1\right)}^2}=\frac{2}{{\left(0^{-}\right)}^2}=\frac{2}{0^{+}}=\infty$$

     La forma de razonar en este ejemplo es análoga a la anterior, pero debes tener en cuenta que ${\left(0^{-}\right)}^2=0^{+}$. Calculando el límite lateral derecho:

     $$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}=\frac{1^{+}+1}{{\left(1^{+}-1\right)}^2}=\frac{2}{{\left(0^{+}\right)}^2}=\frac{2}{0^{+}}=\infty$$

     Con lo que podemos escribir...

     $$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}=\infty \Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }\frac{{\displaystyle x+1}}{{\displaystyle {\left(x-1\right)}^2}}=\infty$$

     

     Función racional. Límites laterales coincidentes

     Representación de la función de nuestro ejemplo. Tanto a la izquierda (con fondo en verde claro) como a la derecha (con fondo en verde oscuro) del punto que anula el denominador la función se va a ∞, con lo que ese es el valor de la función cuando x tiene a 1.

     En ocasiones, y por convención, cuando estamos ante una indeterminación del tipo k/0 decimos que es ∞ independientemente del valor de los límites laterales. Aunque estrictamente hablando no es precisa dicha afirmación, significa que la función diverge en el punto (se aleja del eje x), sin importar hacia qué sentido lo hace a cada lado del punto.

  2. $$\boxed{Q\left(a\right)=0 \text{y} P\left(a\right)=0\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\left(x-a\right)·P_s\left(x\right)}{\left(x-a\right)·Q_s\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{P_s\left(x\right)}{Q_s\left(x\right)}}$$

     Tenemos que tanto el numerador como el denominador se anulan en x=a, esto es, x=a es una raíz de ambos polinomios, con lo que se puede factorizar tanto numerador como denominador, quedando así una función racional simplificada.

     Recuerda que decimos que x=r_i es una raíz del polinomio P(x) cuando P(r_i)=0.

     Por tanto...

     Para calcular el límite del cociente de dos polinomios en un punto en el que se anulan el numerador y el denominador, se simplifica el cociente sacando como factor (x-a). Una vez hecho esto se calcula el límite de la función simplificada:

     $$\begin{gathered} Q\left(a\right)=P\left(a\right)=0\Rightarrow \begin{array}{c}P\left(x\right)=\left(x-a\right)·P_s\left(x\right)\\ Q\left(x\right)=\left(x-a\right)·Q_s\left(x\right)\end{array}\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\left(x-a\right)·P_s\left(x\right)}{\left(x-a\right)·Q_s\left(x\right)}\Rightarrow \\ \Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{P_s\left(x\right)}{Q_s\left(x\right)} \end{gathered}$$.

     Donde P_s(x) y Q_s(x) son los polinomios resultados de dividir P(x) y Q(x) respectivamente entre (x-a).

     Ejemplo

     $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x^2-x-2}=\left[\frac{0}{0}\right]\Rightarrow \text{No está determinado}$$

     Debemos factorizar numerador y denominador. Tenemos dos opciones, o bien dividimos P(x) y Q(x) entre (x-2), que sabemos que es factor, o bien factorizamos buscando todas las raíces. Como son polinomios de segundo grado y la factorización es sencilla, aplicamos:

     $$\begin{gathered} x^2+x-6=0\Rightarrow x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4·1·\left(-6\right)}}{2·1}=\frac{-1\pm 5}{2}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=2\\ x_2=-3\end{array}\right. \\ {x}^2-x-2=0\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-2\right)}}{2·1}=\frac{1\pm 3}{2}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=2\\ x_2=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

     Quedando el límite:

     $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+x-6}{x^2-x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)·\left(x+3\right)}{\left(x-2\right)·\left(x+1\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+3}{x+1}=\frac{5}{3}$$

     

     Límite función racional: Caso 0/0

     En la figura tenemos la representación de la función de nuestro ejemplo. Observa como la función no está definida para x=2, como se pone de manifiesto por el círculo blanco, pero el límite sí, y su valor es precisamente 5/4. Observa que existe otro punto en el que la función tampoco está definida, que corresponde con la otra raíz del polinomio del denominador (x=-1). Si calculásemos $\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)$ tendríamos que recurrir a los límites laterales, como en los casos anteriores.

     Cuando realices operaciones sobre f(x), como por ejemplo la factorización, debes conservar la expresión $\underset{x\to \mathrm{a}}{\lim }$ a la izquierda de la misma hasta que sustituyas la x por el valor de a. De lo contrario estarías diciendo que el límite de la función es igual a la función, cosa que no tiene sentido.

Funciones a trozos

Mención especial merecen las funciones a trozos. Partimos de una función con dos ramas, aunque el procedimiento es fácilmente generalizable.

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{f}_1\left(x\right)& \text{si}& x\le b\\ f_2\left(x\right)& \text{si}& x>b\end{array}\right.$$

Primeramente tenemos que identificar si nos piden el límite en un valor de x de cambio de rama o no. En la expresión anterior, el cambio de rama se produce en x=b.

$$\boxed{\underset{x\to b}{\lim }f\left(x\right)}$$

En este caso, la función se comporta de manera diferente si nos aproximamos a b por la izquierda (lo haría con la expresión de f₁), o por la derecha (lo haría con la expresión de f₂). El cálculo por tanto se reduce al cálculo de los limites laterales, ya que, como recordarás, estos deben coincidir.

$$\left.\begin{array}{r}\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to b^{-}}{\lim }{f}_1\left(x\right)=L_i\\ \underset{x\to b^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to b^{+}}{\lim }{f}_2\left(x\right)=L_d\end{array}\right\}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{Si} L_i=L_d\Rightarrow \underset{x\to b}{\lim }f\left(x\right)=L_i=L_d=L\\ \text{Si} L_i\ne L_d\Rightarrow \nexists \underset{x\to b}{\lim }f\left(x\right)\end{array}\right.$$

Ejemplo

1.-

$$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}\text{Con} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^2& \text{si}& x\le 1\\ x& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$

Como x=1 es un punto de cambio de rama, hay que calcular los límites laterales:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1\hspace{0.17em} \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }x=1 \end{gathered}$$

Vemos que los límites laterales tienen igual valor, con lo que podemos escribir:

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1\hspace{0.17em}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=1\hspace{0.17em}$$

Límite de una función a trozos en cambio de rama

Los límites laterales de la función de nuestro primer ejemplo tienen igual valor (1), con lo que el límite existe y su valor es igual a estos. Observa que hemos utilizado una vez más el verde claro para resaltar el lado de la función que correspondería al límite lateral izquierda, y el verde oscuro para resaltar el lado que correspondería al límite lateral derecho.

2.-

$$\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right) ;\hspace{0.17em}Con f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-1& \text{si}& x<1\\ x& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.$$

Volvemos a tener que calcular el límite en un cambio de ramas, con lo que vamos a los límites laterales:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1 \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }-1=-1 \end{gathered}$$

Dado que no coinciden los límites laterales, el límite no existe:

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}\ne \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}\Rightarrow \nexists \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$$

Por otro lado, observa comparando con el ejemplo anterior, que la posición del igual en el cambio de rama (signos ≤, ≥)es indiferente para el cálculo del límite.

No existencia del límite de una función a trozos en cambio de rama

Cuando los límites laterales de la función en el punto de cambio de rama son distintos, como en este segundo ejemplo, no existe el límite.

$$\boxed{\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right) \text{con} a\ne b}$$

En este caso, el punto no es de cambio de rama, y tenemos que fijarnos en cuál debemos escoger (f₁ o f₂) según dónde esté a.

$$\begin{array}{c}\text{Si} a<b \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a}{\lim }{f}_1\left(x\right)=L\\ \text{Si} a>b \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a}{\lim }{f}_2\left(x\right)=L\end{array}$$

Ejemplo

$$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right) ;\hspace{0.17em}Con f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-1& \text{si}& x<1\\ x& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.$$

Se trata de la función del ejemplo anterior, pero en este caso el límite es en un punto en que no se produce cambio de rama. En él, la función es continua, con lo que simplemente sustituimos:

$$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}\ne \underset{x\to 2}{\lim }x=2$$

Propiedades del cálculo de límites

Cuando estés operando con límites te será de gran utilidad conocer la siguiente tabla de propiedades. Sean $\underset{x\to p}{\lim }f\left(x\right)=a$ y $\underset{x\to p}{\lim }g\left(x\right)=b$. Entonces tenemos:

Visita el apartado enlazado para estudiar estas ideas y ver ejemplos con más detenimiento.