Funciones Polinómicas

Como sabes, las funciones describen fenómenos cotidianos. La velocidad de un cuerpo que lanzas libremente hacia arriba, el precio de la factura de la luz o el volumen de una esfera en función de su radio son, todos ellos, ejemplos de funciones polinómicas de distinto tipo. En este apartado te vamos a enseñar sus propiedades, lo que te va a permitir analizar este tipo de funciones en profundidad. Los puntos que veremos son:

• Definición
• Gráficas
• Dominio
• Recorrido o imagen
  • En polinomios de grado impar
  • En polinomios de grado par
• Continuidad y derivabilidad de polinomios
• Estudio de monotonía, máximos y mínimos
• Estudio de curvatura y puntos de inflexión
• Cortes con los ejes x e y
• Asíntotas y ramas
• Simetría
• Representación
• Los tipos de funciones polinómicas
• Fenómenos reales que se describen mediante funciones polinómicas

¿Comenzamos?

Definición

Ejemplos

$$\begin{array}{cc}\mathit{a}\mathbf{)} f\left(x\right)=3x^2+2x+1& \mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }f\left(x\right)=\frac{2}{3}{x}^3\\ \mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }f\left(x\right)=-5x^2+2& \mathit{d}\mathbf{)} f\left(x\right)=7\\ \mathit{e}\mathbf{)}\hspace{0.17em}f\left(x\right)=x^5+{\mathrm{\pi x}}^2-\mathrm{ex}& \mathit{f}\mathbf{)}\hspace{0.17em}f\left(x\right)=\frac{x^5}{3}-\frac{4x^3}{5}\end{array}$$

Observa algunas características:

• El número de coeficientes puede ser cualquiera, pero siempre será un número finito. Observa:
  • Las funciones a) y e) tienen 3 términos
  • Las funciones c) y f) tienen 2 términos
  • Las funciones b) y d) tienen 1 solo término
• Puede haber coeficientes que "faltan". Por ejemplo, el término en x en la función c), o los términos en x², x e independiente en b). Podemos decir que cualquier coeficiente que falta tiene valor 0
• Los coeficientes a_i pueden ser números reales cualesqueira, positivos (como 3x² en a)), negativos (como -5x² en c)), racionales (como 2/3x³ en b)) o irracionales (como πx² ó -ex en c))
• Los coeficientes que son números racionales se pueden escribir en la forma $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}{x}^3$ o en la forma $\mathbf{-}\frac{\mathbf{4}{x}^3}{\mathbf{5}}$, como en b) y f) respectivamente
• Una función polinómica también puede consistir en una única constante, como en f). Puedes pensar que el término independiente está multiplicado por x⁰(=1)

Por tanto, las siguientes no son funciones polinómicas:

$$\begin{array}{cc}\mathit{a}\mathbf{)} f\left(x\right)=5x^{\frac{2}{3}}-2x& \mathit{b}\mathbf{)} f\left(x\right)=x^{-1}\end{array}$$

• La función en a) correspondería a $f\left(x\right)=5\sqrt[3]{x^2}-2x$, que no es un polinomio
• La función en b) correspondería a $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$, que tampoco lo es (la variable independiente no puede aparecer en el denominador)

Gráficas

Se caracterizan, en general, por describir curvas suaves (salvo la función constante y el polinomio de grado 1, que son rectas en el plano).

Gráficas de polinomios

En la imagen puedes ver las gráficas de los polinomios de grados 0, 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Observa que sus características de monotonía (crecimiento/decrecimiento) dependen en gran medida del valor del coeficiente de mayor grado. Por otro lado, observa que, a partir del grado 2, las curvas descritas son suaves.

Puedes utilizar este simulador para representar la gráfica de cualquier polinomio de hasta grado 5.

Un poco más abajo te diremos como puedes esbozar su gráfica a partir de la expresión analítica de la función. Por ahora, vamos a seguir viendo otras características que debes tener presentes.

Dominio

El dominio, recuerda, es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. En el caso de las funciones polinómicas, este es ℝ ya que al sustituir la x por un número real cualquiera 𝑥∈ℝ, siempre va a existir f(x).

Recorrido

Por otro lado, la imagen o recorrido, es el conjunto de valores que toma la propia función (la variable independiente a la que solemos llamar y). En este caso podemos distinguir dos grandes casos:

Grado impar

Recorrido en polinomios de grado impar

Como hemos indicado, el grado de un polinomio viene determinado por el exponente máximo al que está elevada la x. Cuando dicho valor es impar, el recorrido es el conjunto de los números reales. En la imagen tenemos dos ejemplos clásicos: a la izquierda un polinomio de grado 3 y a la derecha un polinomio de grado 5.

Grado par

El recorrido en los polinomios de índice par depende del coeficiente de mayor grado ( a_n ). Cuando es mayor que cero, las ramas de la función están hacia arriba, y el recorrido abarca desde el valor mínimo de la función ( y_min(f) ) hasta el infinito. Cuando es menor que cero a_n, las ramas están hacia abajo, y el recorrido abarca desde menos infinito hasta el valor máximo de la función (y_max(f)).

Recorrido en polinomios de grado par

Para estudiar el recorrido de polinomios de grado par tomamos la parábola de ejemplo. Se trata de un polinomio de segundo grado con expresión f(x)=a₂·x²+₁·x+a₀. Cuando a₂>0 el vértice de la parábola es el mínimo de la función (izquierda). Cuando a₂<0 el vertíce es el máximo. Por tanto el recorrido en el caso de 1 viene dado por Rec_f=[y_v,∞). En el caso de 2 será Rec_f=(-∞,y_v].

Recuerda que para calcular la coordenada x del vértice, calculamos los puntos singulares igualando a 0 la primera derivada. Así obtenemos x_v=-a₁/2a₂. Para calcular la coordenada y, límite de los intervalos del recorrido, sustituimos la coordenada x en la expresión de la parábola: y_v=a₂·x_v²+a₁·x_v+a₀.

Continuidad y derivabilidad

Siempre nos resulta posible calcular la derivada de un polinomio. Por tanto, podemos decir:

Es esta la razón por la que las funciones polinómicas (de grado mayor que dos) forman curvas suaves. No existen los puntos angulosos.

Monotonía: Máximos y mínimos

Para determinar los extremos de una función polinómica seguiremos el procedimiento habitual. Se trata de hacer f'(x)=0 y despejar los valores de x correspondientes resolviendo la ecuación planteada. Luego, con la ayuda de un cuadro de signos, determinaremos si se trata de máximos, mínimos o puntos silla, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Curvatura: Concavidad y convexidad

Estudiar la curvatura de una función consiste en determinar aquellos intervalos en los que la función es cóncava, y en cuáles es convexa. Para ello seguiremos el procedimiento habitual. Se trata, en este caso, de hacer f''(x)=0 y resolver la ecuación planteada para despejar los posibles puntos de inflexión. Luego, con la ayuda de un cuadro de signos, determinaremos los tramos de concavidad y de convexidad.

Cortes con los ejes

Cortes con eje x

Se trata de hacer f(x)=0 y despejar. Nos quedará una ecuación de grado n, con lo que:

Recuerda, llamamos ceros a los puntos de corte con el eje x, y son importantes porque en ellos puede cambiar el signo del polinomio.

Corte con eje y

Se trata de hcaer x=0 y despejar y. El resultado es inmediato, la coordenada y será la del coeficiente independiente a₀.

Cortes y signo de la función polinómica

En la figura está representado un polinomio de grado 5. En azul hemos representado los puntos de corte con el eje x. En verde los puntos de corte con el eje y. En este caso la función cambia su signo en los tres ceros que tiene.

¿Serías capaz de hacer un esbozo de una función en la que existiese un 0 y la función no cambiara de signo en él?.

Asíntotas y ramas parabólicas

El estudio de las asíntotas y las ramas parabólicas se hace mediante límites.

• Una función polinómica no presenta asíntotas de ningún tipo

• Pero presenta ramas parabólicas en ∞ y -∞ Para calcularlas hacemos:

  $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right) ;\hspace{0.17em}\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)$$

Ramas infinitas de la función polinómica

Hemos señalado en azul y en verde las ramas infinitas de la función. En este caso, la primera se va a -∞ y la segunda a +∞.

El coeficiente de mayor grado a_n nos da pistas de la forma de las ramas. Observa la siguiente tabla

A partir de la tabla anterior podemos decir algo sobre la acotación de funciones polinómicas.

Simetría

Las funciones polinómicas pueden ser simétricas.

• Si sólo tienen términos de grado impar presentan simetría impar, respecto al origen

  $$-f\left(x\right)=f\left(-x\right)$$

• Si sólo tienen términos de grado par presentan simetría par, respecto al eje y

  $$f\left(x\right)=f\left(-x\right)$$

Representación

La representación de polinomios de grado 0 ó 1 es inmediata, pues son rectas. Ahora vamos a darte algunas claves que puedes seguir para la representación gráfica de funciones polinómicas de grado mayor que uno:

1. Se buscan sus dos ramas parabólicas haciendo $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ y $\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)$

2. Se buscan los puntos singulares

Para ello se busca la primera derivada y se resuelve la ecuadión f'(x)=0. Para cada valor x_i obtenido se busca su coordenada y_i=f(x_i)

3. Si deseamos una representación un poco más precisa, se buscan los puntos de corte con los ejes, tal y como hemos señalado más arriba.

   También podemos seleccionar valores de x entre los puntos singulares y obtener su imagen para perfiilar la función con mayor precisión.

4. Finalmente se unen los puntos obtenidos y con las ramas infinitas. Hay que tener especial cuidado de dibujar solo los puntos singulares obtenidos.

Una vez representada, puedes ayudarte de este simulador para comprobar que la gráfica es correcta.

Tipos

Según el grado solemos distinguir las siguientes:

Función constante

Un polinomio de grado 0 se representa como una recta horizontal. En función del valor de a₀ la horizontal estará en un lugar u otro.

Función afín

Un polinomio de grado 1 se representa como una recta oblicua. En función del valor de a₀ el corte con el eje y estará en un lugar u otro. El valor de a₁ marca la pendiente de la recta.

Función cuadrática

Un polinomio de grado 2 se representa como una parábola. En función del valor de a₀ el corte con el eje y estará en un lugar u otro. El signo de a₂ marca la orientación de las ramas. Si a₂>0 las ramas están hacia arriba. Si a₂<0 las ramas están hacia abajo.

Función cúbica

Un polinomio de grado 3 se representa como una función cúbica. En función del valor de a₀ el corte con el eje y estará en un lugar u otro. El signo de a₃ marca la orientación de las ramas. Si a₃>0 la función viene de -∞ y va hacia +∞. Si a₃<0 la función viene de +∞ y va hacia -∞.

Aplicaciones

Algunos fenómenos reales que pueden ser descritos mediante funciones polinómicas son los siguientes:

• Funciones lineales
  • El espacio recorrido por un cuerpo con velocidad constante, en función del tiempo
  • El ángulo que se desplaza un cuerpo con movimiento circular uniforme en función del tiempo
  • La aceleración que adquiere un cuerpo en función de la fuerza constante aplicada
  • La presión que experimenta un cuerpo que se sumerge a cierta profundidad
• Funciones cuadráticas
  • El espacio recorrido por un cuerpo con aceleración constante, en función del tiempo
  • La energía cinética que tiene un cuerpo en función de su velocidad