Extremos en polinomios

Consideraciones previas

Seguiremos la regla práctica expuesta en la teoría asociada. De manera resumida, y para este caso en el que tratamos con polinomios, podemos decir que se trata de buscar los puntos que anulan la primera derivada. Ten presente que el dominio de un polinomio es el conjunto de todos los números reales, por lo que estos valores siempre pertenecerán al dominio. Estos puntos se denominan puntos singulares (aquellos que anulan la primera derivada), pero son a la vez puntos críticos (puntos en los que puede haber un cambio en el crecimiento o decrecimiento de la función y por tanto un máximo o un mínimo). Para comprobar en qué caso nos encontramos, haremos un cuadro con los signos de la primera derivada en cada invervalo.

Ten presente que en este ejercicio nos centraremos en saber si los puntos críticos son máximos, mínimos, o puntos silla, pero no distinguiremos entre absolutos y relativos, ya que para ello debemos hacer un análisis más profundo de la función (dominio, recorrido, asíntotas... ).

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=3x^2-6x}$$

Ya debes saber que la función es un polinomio de grado 2, y gráficamente es una parábola con las ramas hacia arriba. Si obtenemos el valor de la primera derivada y lo igualamos a 0 nos queda:

$$f\text{'}\left(x\right)=6x-6\Rightarrow 0=6x-6\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1$$

Por tanto, x=1 es el único candidato a máximo o mínimo de la función. Ya sabes, además, que al tener las ramas hacia arriba la parábola, x=1 va a ser justamente el mínimo de la función. No obstante, imaginemos que no lo recordamos, o que no nos hemos percatado que se trata de una parábola. Procedemos con el cuadro de signos de la primera derivada, dividiendo la recta real a partir de los puntos críticos de la función (en este caso solo x=1).

$$\begin{array}{ccc}& \left(-\infty ,1\right)& \left(1,\infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& -& +\end{array}$$

Donde para obtner los signos de cada intervalo tomamos un valor arbitrario de ese intervalo. Por ejemplo -1∈(-∞,1) => f'(-1)<0 y 1∈(1,∞) => f'(1)>0.

De lo anterior podemos decir que la función es decreciente en el intervalo (-∞,1), y creciente en el (1,∞), por lo que el punto x=1 es un mínimo.

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=x^3}$$

Procedemos de manera similar, en primer lugar, calculando la derivada, e igualando a 0.

$$f\text{'}\left(x\right)=3x^2\Rightarrow 0=3x^2\Rightarrow x=0$$

Procedemos con el cuadro de signos de la primera derivada:

$$\begin{array}{ccc}& \left(-\infty ,0\right)& \left(0,\infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& +& +\end{array}$$

En este caso la función es creciente en todo su dominio, y x=0 es simplemente un punto silla.

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=x^3-4x^2}$$

En este caso obtenemos la primera derivada:

$$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-8x\Rightarrow 0=3x^2-8x\Rightarrow x={\displaystyle \frac{8\pm \sqrt{64-4·3·0}}{2·3}}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2={\displaystyle \frac{16}{6}}\end{array}\right.$$

Montamos el cuadro de signos:

$$\begin{array}{cccc}& \left(-\infty ,0\right)& \left(0,{\displaystyle \frac{16}{6}}\right)& \left({\displaystyle \frac{16}{6}},\infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& +& -& +\end{array}$$

En este caso la función es creciente en los intervalor (-∞,0) y (16/6,∞) y decreciente en le intervalo (0,16/6). Por tanto x=0 es un máximo (en él la función cambia su monotonía de creciente a decreciente) y x=16/6 un mínimo (en él la función cambia su monotonía de decreciente a creciente).

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=x^4-2x^2}$$

En este caso la derivada nos queda un polinomio de grado 3...

$$f\text{'}\left(x\right)=4x^3-4x\Rightarrow 0=4x^3-4x\Rightarrow 0=x\left(4x^2-4\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{x}_1=0\\ x_2=1\\ x_3=-1\end{array}\right.$$

Elaborando el cuadro:

$$\begin{array}{ccccc}& \left(-\infty ,-1\right)& \left(-1,0\right)& \left(0,1\right)& \left(1,\infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& -& +& -& +\end{array}$$

Así, nos quedan como intervalos de crecimiento (-1,0) y (1,∞), como intervalos de decrecimiento (-∞,-1) y (0,1). Habría dos mínimos: x=-1 y x=1. Y, finalmente, habría un máximo en x=0.