División de funciones

Si te decimos que es posible combinar dos números a través de una operación llamada cociente, y obtener como resultado uno nuevo, es seguro que no te estamos diciendo nada nuevo. Sin embargo, lo que quizás no sepas todavía es que también es posible dividir funciones para obtener una función nueva. Por ejemplo:

$$\begin{array}{c}f\left(x\right)=x+2\\ g\left(x\right)=\frac{1}{x}\end{array}\Rightarrow f\left(x\right)/g\left(x\right)=\frac{x+2}{1/x}$$

En este apartado vamos a profundizar en las particularidades de esta operación a través de:

• Definición
• Propiedades

Definición

Al igual que sucedía con la suma, con la resta y con la multiplicación, el dominio de la función cociente es el conjunto intersección de los dominios de las funciones f y g, de manera que si este fuese el conjunto vacío ∅, la nueva función carecería de dominio, es decir, no existiría. Esta es una diferencia fundamental con los números reales, dónde la división de dos números cualesquiera, siempre existe cuando el denominador es distinto de cero.

Propiedades

La división de funciones no cumple las propiedades que hemos visto en el resto de operaciones. Observa:

• No conmutativa: $f/g\ne g/f$

  Es decir, el orden en que operes varía el resultado. Es una propiedad que tampoco se cumple en los números reales: 4/2≠2/4

• No asociativa: $\left(f/g\right)/h\ne f/\left(g/h\right)$

  Efectivamente, tampoco se cumple la propiedad asociativa. Sean tres funciones f(x)=1, g(x)=x , h(x)=x². (f/g)/h=1/x³ y f/(g/h)=x. Es una propiedad que tampoco se cumple en los números reales: (8/4)/2≠8/(4/2)

• No distributiva: $f/\left(g+h\right)\ne f/g + f/h$

  Aunque observa que si operamos por la derecha, en lugar de por la izquierda, si se cumple: $\left(g+h\right)/f=g/f + h/f$. En cualquier caso, para poder decir que se cumple la propiedad distributiva en general, esta debe cumplirse por la derecha y por la izquierda. En los reales ocurre algo parecido: 8/(4+2)≠8/4 + 8/2, pero (4+2)/8 = 4/8 + 2/8

Finalmente, tampoco tiene sentido hablar de elemento neutro de la división de funciones en general, aunque sí de elemento neutro por la derecha. Recuerda que este es el elemento que deja cualquier función igual cuando se opera con él, con lo que el elemento neutro por la derecha de la división de funciones es la función constante f(x)=1 (cualquier función g(x) cumplirá que g(x)/1=g(x)).