Simetría de funciones

Consideraciones previas

El procedimiento consistirá en calcular f(-x) y -f(x) para comprobar si existen coincidencias. Recuerda que si f(-x)=f(x), tenemos simetría respecto al eje y (paridad par) y si f(-x)=-f(x) tenemos simetría respecto al origen (paridad impar). En caso de que no haya coincidencias, no hay simetría.

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=x}$$

$$\left.\begin{array}{r}f\left(-x\right)=-x\\ -f\left(x\right)=-x\end{array}\right\}\Rightarrow f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$$

Por tanto la función presenta simetría respecto al origen o simetría impar.

$$\boxed{f\left(x\right)=x^2+2x+1}$$

$$\left.\begin{array}{r}f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2+2\left(-x\right)+1\\ -f\left(x\right)=-\left(x^2+2x+1\right)\end{array}\right\}\left.\begin{array}{r}f\left(-x\right)=x^2-2x+1\\ -f\left(x\right)=-x^2-2x-1\end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)\\ f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)\end{array}$$

En este caso no hay ningún tipo de simetría.

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{3x}{x^2+2}}$$

$$\left.\begin{array}{r}f\left(-x\right)=\frac{3\left(-x\right)}{{\left(-x\right)}^2+2}\\ -f\left(x\right)=-\frac{3x}{x^2+2}\end{array}\right\}\left.\begin{array}{r}f\left(-x\right)=\frac{-3x}{x^2+2}\\ -f\left(x\right)=\frac{-3x}{x^2+2}\end{array}\right\}\Rightarrow f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$$

Por tanto la función presenta simetría respecto al origen o simetría impar.

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{3x^4}{x^2-2}}$$

$$\left.\begin{array}{r}f\left(-x\right)=\frac{3{\left(-x\right)}^4}{{\left(-x\right)}^2-2}\\ -f\left(x\right)=-\frac{3x^4}{x^2-2}\end{array}\right\}\left.\begin{array}{r}f\left(-x\right)=\frac{3x^4}{x^2-2}\\ -f\left(x\right)=\frac{-3x^4}{x^2-2}\end{array}\right\}\Rightarrow f\left(-x\right)=f\left(x\right)$$

Se trata, por tanto, de paridad respecto al eje y, o paridad par.

$$\boxed{f\left(x\right)=e^{x^3}}$$

$$\left.\begin{array}{r}f\left(-x\right)=e^{{\left(-x\right)}^3}\\ -f\left(x\right)=-e^{x^3}\end{array}\right\}\left.\begin{array}{r}f\left(-x\right)=\frac{1}{e^{x^3}}\\ -f\left(x\right)=-e^{x^3}\end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}f\left(-x\right)\ne f\left(x\right)\\ f\left(-x\right)\ne -f\left(x\right)\end{array}$$

Por tanto no hay ningún tipo de paridad.