Análisis gráfico de funciones

Enunciado

dificultad

Estudia las funciones representadas en las siguientes gráficas, calculando su dominio, recorrido, monotonía, curvatura, acotación, simetría y periodicidad.

Salvo en el último caso, en el resto puedes asumir que cada cuadro de la cuadrícula tiene una longitud de 1 unidad x 1 unidad.

Solución

Consideraciones previas

Si lo necesitas, consulta la teoría asociada para recordar cómo estudiar los distintos elementos de una función.

Resolución

Dominio: $D o m_{f} = (- \infty, 0) \cup (0, \infty) = ℝ - \{0\}$
Recorrido: $R e c_{f} = ℝ$
Ceros: $x = - 4, x = - 1.2, x = 1 .2, x = 4$
Signo
- Intervalos de signo positivo: $x \in (- 1.2, 1.2) - {0}$
- Intervalos de signo negativo: $x \in (- \infty, - 1.2) \cup (1.2, \infty)$
Monotonía
- Intervalos de crecimiento: $x \in (- \infty, - 4) \cup (- 2, 0) \cup (2, 4)$
- Intervalos de decrecimiento: $x \in (- 4, - 1.2) \cup (0, 1.2) \cup (4, \infty)$
- Máximos
  - Absolutos: ∄
  - Relativos: $m a x_{1} = (- 4, 0); m a x_{2} = (4, 0)$
- Mínimos
  - Absolutos: ∄
  - Relativos: $m i n_{1} = (- 2, - 1.5); m i n_{2} = (2, - 1.5)$
Curvatura
- Intervalos de concavidad: $x \in (- \infty, - 2.75) \cup (2.75, \infty)$
- Intervalos de convexidad: $x \in (- 2.75, 2.75) - \{0\}$
- Puntos de inflexión: $P_{1} = (- 2.75, - 1); P_{2} = (2.75, - 1)$
Acotación: La función no está acotada ni superior ni inferiormente. Para que así lo estuviese, alguno de los extremos del recorrido debería ser un valor finito (cosa que no ocurre ni con el inferior ni con el superior).
- Supremo: ∄
- Ínfimo: ∄
Simetría: La función es simétrica respecto al eje y, es decir, presenta paridad par
Periodicidad: La función no es periódica

Dominio: $D o m_{f} = (- \infty, 0) \cup (0, \infty) = ℝ - \{0\}$
Recorrido: $R e c_{f} = ℝ$
Ceros: $x = - 4, x = - 1.2, x = 1 .2, x = 4$
Signo
- Intervalos de signo positivo: $x \in (- \infty, - 1.2) \cup (0, 1.2)$
- Intervalos de signo negativo: $x \in (- 1 .2, 0) \cup (1.2, \infty)$
Monotonía
- Intervalos de crecimiento: $x \in (- 4, - 2) \cup (2, 4)$
- Intervalos de decrecimiento: $x \in (- \infty, - 4) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (4, \infty)$
- Máximos
  - Absolutos: ∄
  - Relativos: $m a x_{1} = (- 2, 1.5); m a x_{2} = (4, 0)$
- Mínimos
  - Absolutos: ∄
  - Relativos: $m i n_{1} = (- 4, 0); m i n_{2} = (2, - 1.5)$
Curvatura
- Intervalos de concavidad: $x \in (- 2.75, 0) \cup (2.75, \infty)$
- Intervalos de convexidad: $x \in (- \infty, - 2.75) \cup (0, 2.75)$
- Puntos de inflexión: $P_{1} = (- 2.75, 1); P_{2} = (2.75, - 1)$
Acotación: La función no está acotada ni superior ni inferiormente. Para que así lo estuviese, alguno de los extremos del recorrido debería ser un valor finito (cosa que no ocurre ni con el inferior ni con el superior).
- Supremo: ∄
- Ínfimo: ∄
Simetría: La función es simétrica respecto al origen, es decir, presenta paridad impar
Periodicidad: La función no es periódica

Dominio: $D o m_{f} = (- \infty, - 6] \cup [- 5, - 1) \cup (1, 5] \cup (6, \infty)$
Recorrido: $R e c_{f} = (- \infty, 3)$
Ceros: $x = - 8, x = - 4, x = - 3, x = - 1.2, x = 1.2, x = 3, x = 4, x = 8$
Signo
- Intervalos de signo positivo: $x \in (- 8, - 6] \cup (- 4, - 3) \cup (- 1.2, - 1) \cup (1, 1.2) \cup (3, 4) \cup (6, 8)$ . Observa que x=-6 es un extremo de un intervalo de signo positivo que debe estar cerrado, pues el valor x=6 tiene una imagen positiva, frente al resto de extremos de intervalos en los que la imagen es 0 o son puntos abiertos
- Intervalos de signo negativo: $x \in (- \infty, - 8) \cup [- 5, - 4) \cup (- 3, - 1.2) \cup (1.2, 3) \cup (4, 5] \cup (8, \infty)$ . Análogamente a lo que ocurría antes, observa la particularidad del x=-5 y del x=5
Monotonía
- Intervalos de crecimiento: $x \in (- \infty, - 6) \cup (- 5, - 3) \cup (- 2, - 1) \cup (2, 3)$
- Intervalos de decrecimiento: $x \in (- 3, - 2) \cup (1, 2) \cup (3, 5) \cup (6, \infty)$
- Máximos
  - Absolutos: ∄
  - Relativos: $m a x_{1} = (- 6, 2); m a x_{2} = (- 3, 1); m a x_{3} = (3, 1)$
- Mínimos
  - Absolutos: ∄
  - Relativos: $m i n_{1} = (- 5, - 1); m i n_{2} = (- 2, - 2); m i n_{3} = (2, - 2); m i n_{4} = (5, - 1)$
Curvatura. Observa que una función lineal cumple a la vez las condiciones de concavidad y convexidad. Así, las ramas lineales las incluiremos tanto en los intervalos cóncavos como en los convexos.
- Intervalos de concavidad: $x \in (- \infty, - 6) \cup (- 5, - 3) \cup (3, 5) \cup (6, \infty)$
- Intervalos de convexidad: $x \in (- \infty, - 6) \cup (- 5, - 1) \cup (1, 5) \cup (6, \infty)$
- Puntos de inflexión: $P_{1} = (- 3, 1); P_{2} = (3, 1)$
Acotación: La función está acotada superiormente. La mínima de las cotas superiores es y=3, y cumple que 3>f(x) para cualquier x del dominio
- Supremo: y=3
- Ínfimo: ∄
Simetría: La función no presenta simetría. Observa que, aunque está cerca de presentar simetría par, el x=6 no pertenece al dominio, y el x=-6 sí
Periodicidad: La función no es periódica

Dominio: $D o m_{f} = [- 2, 3]$
Recorrido: $R e c_{f} = [- 3, 3]$
Ceros: $x = - 1.5, x = 0.45, x = 1.5$
Signo
- Intervalos de signo positivo: $x \in (- 1.5, - 0.45) \cup (1.5, 3]$ . Observa que x=3 es un extremo de un intervalo de signo positivo que debe estar cerrado, pues el valor tiene una imagen positiva, frente al resto de extremos de intervalos en los que la imagen es 0
- Intervalos de signo negativo: $x \in [- 2, - 1.5) \cup (0.45, 1.5]$ . Análogamente a lo que ocurría antes, observa la particularidad del x=-2
Monotonía
- Intervalos de crecimiento: $x \in (- 2, - 0.5) \cup (1, 3)$
- Intervalos de decrecimiento: $x \in (- 0.5, 1)$
- Máximos
  - Absolutos: $M a x_{1} = (- 0.5, 3); M a x_{2} = (3, 3)$
  - Relativos: $m a x_{1} = (- 0.5, 3); m a x_{2} = (3, 3)$
- Mínimos
  - Absolutos: Min₁=(-2,-3)
  - Relativos: $m i n_{1} = (- 2, - 3); m i n_{2} = (1, - 0.5)$
Curvatura
- Intervalos de concavidad: $x \in (- 1.5, 0.25) \cup (1.75, 3)$
- Intervalos de convexidad: $x \in (- 2, - 1.5) \cup (0.25, 1.75)$
- Puntos de inflexión: $P_{1} = (- 1.5, 0); P_{2} = (0.25, 1); P_{3} = (1.75, 1)$
Acotación: La función está acotada, pues lo está superior e inferiormente. La mínima de las cotas superiores es y=3, y cumple que 3≥f(x) para cualquier x del dominio. Por otro lado, la máxima de las cotas inferiores es y=3, y cumple que 3≤f(x) para cualquier x del dominio.
- Supremo: y=3
- Ínfimo: y=-3
Simetría: La función no presenta ningún tipo de paridad
Periodicidad: La función no es periódica

Dominio: $D o m_{f} = \{- 2, 2\}$
Recorrido: $R e c_{f} = \{- 3, 3\}$
Ceros: ∄
Signo
- Intervalos de signo positivo: $x \in \{2\}$
- Intervalos de signo negativo: $x \in \{- 2\}$
Monotonía
- Intervalos de crecimiento: ∄
- Intervalos de decrecimiento: ∄
- Máximos
  - Absolutos: $M a x_{1} = (2, 3)$
  - Relativos: Consideramos que los máximos absolutos son también relativos y, por tanto, $m i n_{1} = (2, 3)$
- Mínimos
  - Absolutos: $M i n_{1} = (- 2, - 3)$
  - Relativos: Consideramos que los mínimos absolutos son también relativos y, por tanto, $m i n_{1} = (- 2, - 3)$
Curvatura
- Intervalos de concavidad: ∄
- Intervalos de convexidad: ∄
- Puntos de inflexión: ∄
Acotación: La función está acotada, pues lo está superior e inferiormente. La mínima de las cotas superiores es y=3, y cumple que 3≥f(x) para cualquier x del dominio. Por otro lado, la máxima de las cotas inferiores es y=3, y cumple que 3≤f(x) para cualquier x del dominio.
- Supremo: y=3
- Ínfimo: y=-3
Simetría: La función presenta paridad impar, es decir, simetría respecto al origen
Periodicidad: La función no es periódica

Dominio: $D o m_{f} = [- 5, 4) - {- 4}$
Recorrido: $R e c_{f} = [- 2, 3)$
Ceros: x=-2
Signo
- Intervalos de signo positivo: $x \in [- 5, - 4) \cup (- 2, 4)$
- Intervalos de signo negativo: $x \in (- 4, - 2)$
Monotonía
- Intervalos de crecimiento: $x \in (- 3, 4)$ . Observa que en este caso la función es creciente en el intervalo señalado, pero no es estrictamente creciente pues entre x=1 y x=2 la función es constante.
- Intervalos de decrecimiento: $x \in [- 5, - 3) - \{- 4\}$
- Máximos
  - Absolutos: ∄
  - Relativos: $m a x_{1} = (- 5, 2)$
- Mínimos
  - Absolutos: $M i n_{1} = (- 3, - 2)$
  - Relativos: Consideramos que los extremos absolutos son también relativos, es decir, $m i n_{1} = (- 3, - 2)$
Curvatura: Observa que una función lineal cumple a la vez las condiciones de concavidad y convexidad. Así, las ramas lineales las incluiremos tanto en los intervalos cóncavos como en los convexos.
- Intervalos de concavidad: $x \in (- 5, 4) - {- 4}$
- Intervalos de convexidad: $x \in (- 5, - 3) \cup (2, 4) - {- 4}$
- Puntos de inflexión: $P_{1} = (- 3, - 2); P_{2} = (2, 2)$
Acotación: La función está acotada, pues lo está superior e inferiormente. La mínima de las cotas superiores es y=3, y cumple que 3>f(x) para cualquier x del dominio. Por otro lado, la máxima de las cotas inferiores es y=-2, y cumple que -3≤f(x) para cualquier x del dominio.
- Supremo: y=3
- Ínfimo: y=-2. Observa que la función alcanza el ínfimo en un único punto, de ahí que ese punto sea el mínimo absoluto de la función
Simetría: La función no presenta paridad
Periodicidad: La función no es periódica

En este caso, la gráfica corresponde a la función f(x)=cos(x). Veamos las particularidades en el análisis de una función periódica:

Dominio: $D o m_{f} = ℝ$
Recorrido: $R e c_{f} = [- 1, 1]$
Ceros: $x = (2 k + 1) \frac{π}{2} con k \in ℤ$
Signo
- Intervalos de signo positivo: $x \in (- \frac{π}{2} + 2 \cdot k \cdot π, \frac{π}{2} + 2 \cdot k \cdot π) con k \in ℤ$
- Intervalos de signo negativo: $x \in (\frac{π}{2} + 2 \cdot k \cdot π, \frac{3 π}{2} + 2 \cdot k \cdot π) con k \in ℤ$
Monotonía
- Intervalos de crecimiento: $x \in (π + 2 \cdot k \cdot π, 2 π + 2 \cdot k \cdot π) con k \in ℤ$
- Intervalos de decrecimiento: $x \in (0 + 2 \cdot k \cdot π, π + 2 \cdot k \cdot π) con k \in ℤ$
- Máximos
  - Absolutos: $M a x = (2 \cdot k \cdot π, 1) con k \in ℤ$
  - Relativos: $m a x = (2 \cdot k \cdot π, 1) con k \in ℤ$
- Mínimos
  - Absolutos: $M i n = ((2 \cdot k + 1) \cdot π, - 1) con k \in ℤ$
  - Relativos: $m i n = ((2 \cdot k + 1) \cdot π, - 1) con k \in ℤ$
Curvatura: Observa que una función lineal cumple a la vez las condiciones de concavidad y convexidad. Así, las ramas lineales las incluiremos tanto en los intervalos cóncavos como en los convexos.
- Intervalos de concavidad: $x \in (- \frac{π}{2} + 2 \cdot k \cdot π, \frac{π}{2} + 2 \cdot k \cdot π) con k \in ℤ$
- Intervalos de convexidad: $x \in (\frac{π}{2} + 2 \cdot k \cdot π, \frac{3 π}{2} + 2 \cdot k \cdot π) con k \in ℤ$
Acotación: La función está acotada, pues lo está superior e inferiormente. La mínima de las cotas superiores es y=1, y cumple que 1≥f(x) para cualquier x del dominio. Por otro lado, la máxima de las cotas inferiores es y=-1, y cumple que -1≤f(x) para cualquier x del dominio.
- Supremo: y=1
- Ínfimo: y=-1
Simetría: La función presenta paridad par, es decir, simetría respecto al eje y
Periodicidad: La función es periódica y tiene como período T=2·π

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

Fórmulas

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