Calcular dominio

Consideraciones previas

Recurda las principales restricciones al dominio. Las funcions no están definidas:

• En los puntos que anulan denominadores
• En los puntos que hacen negativo el radicando de las raíces de índice par
• En los puntos que hacen negativo o cero el argumento de un logaritmo

Por otro lado, los cuadros o tablas de signos son muy útiles para resolver inecuaciones siempre qué la función se pueda descomponer en productos o cocientes de productos. Éstos nos muestran el signo de la función según los distintos intervalos de x.

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{\sqrt{2x-3}}{x-2}}$$

Tenemos dos restricciones: la impuesta por la raíz cuadrada, y la impuesta por el denominador. Así:

$$\left.\begin{array}{r}2x-3\ge 0\\ x-2\ne 0\end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{r}x⩾\frac{3}{2}\\ x\ne 2\end{array}\right\}\Rightarrow Do{m}_f=[\frac{3}{2},\infty )-\left\{2\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4x}}}$$

De nuevo tenemos dos restricciones: la impuesta por la raíz cuadrada y la impuesta por el denominador. Sin embargo, esta vez se pueden reducir a una sola. Observa:

$$\left.\begin{array}{r}{x}^2-4x\ge 0\\ \sqrt{x^2-4x}\ne 0\end{array}\right\}\Rightarrow x^2-4x>0$$

Ya hemos visto en ejercicios anteriores que para resolver este tipo de inecuación podemos factorizar, buscar las raíces para separar los distintos intervalos de signos, y recurrir a una tabla:

$$x^2-4x=0\Rightarrow x\left(x-4\right)=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=4\end{array}\right.$$

Quedándonos con los intervalos positivos de la función, marcados en la última fila:

$$Do{m}_f=(-\infty ,0)\cup (4,\infty )$$

...donde los extremos del intervalo 0 y 4 son abiertos debido al signo > de la inecuación.

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{x-2}}{x^2-9}}}$$

La raíz cúbica no nos impone ninguna restricción adicional al dominio, con lo que en este caso también tenemos la restricción impuesta por la raíz cuadrada y la restricción impuesta por el denominador, esto es:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}x-2\ge 0\\ x^2-9\ne 0\end{array}\right\}\left.\Rightarrow \begin{array}{r}x\ge 2\\ x^2\ne 9\end{array}\right\}\left.\Rightarrow \begin{array}{r}x\ge 2\\ x\ne \pm \sqrt{9}\end{array}\right\}\left.\Rightarrow \begin{array}{r}x\ge 2\\ x\ne \pm 3\end{array}\right\}\Rightarrow \\ \Rightarrow Do{m}_f=[2,\infty )-\left\{3\right\} \end{gathered}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=3^{x+2}+\sqrt{x}+\cos \left(x\right)+\ln \left(x^2-1\right)-5}$$

A pesar de lo "aparatoso" de la función, solo la raíz cuadrada y el logaritmo neperiano imponen restricciones a su dominio:

$$\left.\begin{array}{r}x\ge 0\\ x^2-1>0\end{array}\right\}$$

Para resolver la segunda inecuación factorizamos y recurrimos a la tabla de signos:

$$x^2-1=0\underset{a^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\Rightarrow }\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0$$

Quedándonos con la parte positiva, nos queda que la solución a la inecuación x²-1≥0 es (-∞,-1)∪(1,∞).

Por tanto nuestro dominio debe cumplir simultáneamente que:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}x\ge 0\\ x^2-1>0\end{array}\right\}\Rightarrow x\in [0,\infty ) \text{y} x\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty )\Rightarrow \\ \Rightarrow x\in [0,\infty )\cap \left[\right(-\infty ,-1)\cup (1,\infty \left)\right]\Rightarrow Do{m}_f=(1,\infty ) \end{gathered}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{12x-2}{\sqrt{x}+1}}$$

Las restricciones, debidas a la raíz y del denominador, quedan:

$$\left.\begin{array}{r}x\ge 0\\ \sqrt{x}-1\ne 0\end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{r}x\ge 0\\ \sqrt{x}\ne 1\end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{r}x\ge 0\\ x\ne 1\end{array}\right\}\Rightarrow Do{m}_f=[0,\infty )-\left\{1\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x^3+7}{\sqrt[13]{6x+12}}}$$

La raíz treceava, como cualquier raíz de índice impar, no impone ninguna restricción al dominio. Con lo que la única a considerar es que el denominador debe ser distinto de cero:

$$6x+12\ne 0\Rightarrow 6x\ne 12\Rightarrow x\ne 2\Rightarrow Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{2\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{\frac{2-x}{x+1}}}$$

Las restricciones:

$$\left.\begin{array}{r}x+1\ne 0\\ \frac{2-x}{x+1}⩾0\end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{r}x\ne -1\\ \frac{2-x}{x+1}⩾0\end{array}\right\}$$

Para resolver la inecuación recurrimos a una tabla de signos, sabiendo que las raíces, son 2 y -1:

La solución a la segunda condición es x∈[-1,2] y el dominio de la función:

$$Do{m}_f=(-1,2]$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+1}}}$$

En este caso, de nuevo, la restricción de la raíz y del denominador:

$$\left.\begin{array}{r}\frac{x^2}{x^2+1}⩾0\\ x^2+1\ne 0\end{array}\right\}$$

No existe solución para la segunda de las condiciones:

$$x^2+1\ne 0\Rightarrow x^2\ne -1\Rightarrow x\ne \pm \sqrt{-1}$$

Dicho de otra manera, como cualquier valor de x que pertenezca a los números reales es distinto de $\sqrt{-1}$, cualquier valor de x cumple qué $x^2+1\ne 0$, y por tanto no tenemos que hacer restricciones adicionales.

Por otro lado, para resolver la inecuación de la segunda condición, tendríamos que factorizar para buscar los distintos intervalos de signos, y utilizar la tabla. Sin embargo, ya sabemos que el denominador no se puede factorizar. Esto quiere decir que el signo de x²+1 no cambia. Tampoco cambia el signo del numerador,aunque tenga como raíz x=0. Utilicemos nuestra tabla de signos, para saber si el signo del cociente es positivo o negativo:

Por tanto el dominio de la función queda en este caso:

$$Do{m}_f=(-\infty ,\infty )=\mathrm{ℝ}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{\frac{x^2}{x^2-1}}}$$

A pesar de que esta función solo difiere en un signo de la anterior, la factorización del denominador ahora si es posible:

$$\left.\begin{array}{r}\frac{x^2}{x^2-1}⩾0\\ x^2-1\ne 0\end{array}\right\}\Rightarrow \left.\begin{array}{r}\frac{x^2}{x^2-1}⩾0\\ x\ne \pm 1\end{array}\right\}$$

Para resolver la inecuación de la primera condición, factorizamos y tabla de signos:

$$\frac{x^2}{x^2-1}=\frac{x^2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$$

Con lo que la solución a la inecuación es x∈(-∞,-1]∪[1,∞). Finalmente, el conjunto de valores del dominio debe satisfacer las dos condiciones, con lo que:

$$Do{m}_f=(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$$

En este caso los dos radicandos deben ser mayores o iguales que cero:

$$\left.\begin{array}{r}9-x\ge 0\\ 9+x\ge 0\end{array}\right\}\left.\begin{array}{r}9\ge x\\ 9\ge -x\end{array}\right\}\left.\begin{array}{r}x\le 9\\ x\ge -9\end{array}\right\}$$

Como hasta ahora, cumplir ambas condiciones a la vez significa la intersección de ambos conjuntos:

$$Do{m}_f=(-\infty ,9]\cap [-9,\infty )=[-9,9]$$

$$\boxed{f\left(x\right)={\log }_{x+2}\left(5x\right)}$$

Se trata de un caso un tanto especial. Por definición, la base de logaritmo debe ser positiva y además distinta de 1. por otro lado, el argumento debe ser mayor que cero. De esta manera:

$$\left.\begin{array}{c}x+2>0\\ x+2\ne 1\\ 5x>0\end{array}\right\}\left.\Rightarrow \begin{array}{c}x>-2\\ x\ne -1\\ x>0\end{array}\right\}\Rightarrow Do{m}_f=(0,\infty )$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\left|x-2\right|}$$

Para estudiar el dominio resulta más conveniente pasar el valor absoluto a una función definida a trozos:

$$f\left(x\right)=\left|x-2\right|=\left\{\begin{array}{ccc}x-2& \text{si}& x-2\ge 0\\ -\left(x-2\right)& \text{si}& x-2<0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ccc}x-2& \text{si}& x\ge 2\\ -\left(x-2\right)& \text{si}& x<2\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}-\left(x-2\right)& \text{si}& x<2\\ x-2& \text{si}& x\ge 2\end{array}\end{array}\right.$$

No hay ninguna restricción, con lo que:

$$Do{m}_f=\mathrm{ℝ}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{\frac{\left|x\right|}{x}}}$$

Procedemos de manera similar al caso anterior:

$$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{\left|x\right|}{x}}=\left\{\begin{array}{ccc}\sqrt{\frac{x}{x}}& \text{si}& x\ge 0\\ \sqrt{\frac{-x}{x}}& \text{si}& x<0\end{array}\right.$$

Llegados a este punto podemos caer en la tentación de simplificar los cocientes de cada rama. Sería un error hacerlo antes de aplicar las restricciones al dominio que correspondan, a la vista de las ramas:

$$\left.\begin{array}{r}x\ne 0\\ x/x\ge 0\end{array}\right\}\Rightarrow Do{m}_f=(0,\infty )$$

Como la segunda rama se simplificaría a \sqrt{-1}, que no tiene sentido en el caso de funciones reales, podemos escribir:

$$f\left(x\right)=\sqrt{\frac{\left|x\right|}{x}}=1 \text{con} Do{m}_f=(0,\infty )$$

$$\boxed{F\left(r\right)=K·\frac{Q·q}{r^2}}$$

Matemáticamente la única restricción es que el denominador debe ser distinto de cero. Sin embargo, dado que estamos ante un problema físico, la distancia para la separación r entre las dos cargas nunca va a ser negativa. Por tanto el dominio de la función:

$$Do{m}_F=\left(0,\infty \right)$$