Dominio de funciones trigonométricas

Consideraciones previas

Si quieres profundizar sobre las funciones trigonométricas, consulta el apartado enlazado.

Resolución

Las dos primeras funciones no presentan ningún tipo de restricción, a cualquier número real se le puede hacer el seno o el coseno, con lo que para cualquiera de ellas se cumple que Dom_f=ℝ.

$$\boxed{f\left(x\right)=\tan \left(x+1\right)}$$

En este caso, la tangente impone que su argumento (lo que hay dentro de x+1 )no puede ser múltiplo impar de π/2. Recuerda que esto se debe a que la tangente se define como el seno/coseno, con lo que habría que quitar del dominio los valores que anulan el coseno, que son justamente los múltiplos impares de π/2. Formalmente:

$$\begin{gathered} x+1\ne \left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}\Rightarrow x\ne \left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}+1\Rightarrow \\ \Rightarrow Do{m}_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ}/x\ne \left(2k+1\right)\frac{\pi }{2}+1 \text{con} k\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\} \end{gathered}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\csc \left(3x^2+2\right)}$$

Ahora debemos quitar del dominio los valores que hagan el argumento de la cosecante múltiplo de π. Recuerda que la cosecante se define como 1/seno, y el seno justamente se hace cero en los múltiplos de π. Formalmente:

$$3x^2+2\ne k\mathrm{\pi }\Rightarrow {\mathrm{x}}^2\ne \frac{k\mathrm{\pi }-2}{3}\Rightarrow \mathrm{x}\ne \pm \sqrt{\frac{k\mathrm{\pi }-2}{3}}$$

Ahora, observa que lo que hay dentro de la raíz debe ser mayor o igual que cero, con lo que hay que restringir k:

$$\frac{\mathrm{k\pi }-2}{3}\ge 0\Rightarrow \frac{k\pi }{3}-\frac{2}{3}\ge 0\Rightarrow \frac{k\pi }{3}\ge \frac{2}{3}\Rightarrow k\ge \frac{2}{\pi }\underset{k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{\Rightarrow }k\ge 1$$

Con lo que podemos escribir:

$$Do{m}_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ},k\in \mathrm{\mathbb{Z}}/x\ne \pm \sqrt{\frac{k\mathrm{\pi }-2}{3}} \text{con} k\ge 1\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\sec \left(3x^2+2\right)}$$

En este caso, recuerda que la secante se define como 1/coseno, con lo que debemos quitar, al igual que con la tangente, que generan un argumento múltiplo impar de π/2.

$$3x^2+2\ne \left(k+1\right)\frac{\mathrm{\pi }}{2}\Rightarrow \mathrm{x}\ne \pm \sqrt{k\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2}$$

De nuevo, hay que restringir k, para que el radicando sea mayor o igual que cero:

$$k\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2\ge 0\Rightarrow k\ge \frac{2-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\mathrm{\pi }}\underset{k\in \mathrm{\mathbb{Z}}}{\Rightarrow }k\ge 1$$

Con lo que el dominio queda...

$$Do{m}_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ},k\in \mathrm{\mathbb{Z}}/x\ne \pm \sqrt{\mathrm{k\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{2}-2} \text{con} k\ge 1\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\cot \left(3x^2+2\right)}$$

La cotangente se define como coseno/seno, con lo que al estar el seno en el denominador los valores a restringir del dominio coinciden con la cosecante, es decir:

$$Do{m}_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ},k\in \mathrm{\mathbb{Z}}/x\ne \pm \sqrt{\frac{k\mathrm{\pi }-2}{3}} \text{con} k\ge 1\right\}$$