Estudio de la curvatura de funciones

Consideraciones previas

Estudiar la curvatura de una función consiste en determinar los intervalos en los que la función es cóncava y en cuáles es convexa. En los puntos en los que una función pasa de cóncava a convexa decimos que hay un punto de inflexión. Aunque ya estudiamos una introducción gráfica al estudio de dicha curvatura en los ejercicios asociados al análisis de funciones del nivel anterior, en este estudiaremos la curvatura a partir de la información extraída de la segunda derivada.

De manera práctica, seguiremos los siguientes pasos:

1. Determinar el dominio de la función, para asegurarnos que los puntos obtenidos pertenecen al mismo
2. Calcular la segunda derivada
3. Igualar la segunda derivada a 0 y despejar los puntos candidatos, que serán los puntos de inflexión
4. Elabora un cuadro de signos, colocando en dicho cuadro, sobre el dominio de la función, los candidatos a puntos de inflexión obtenidos, y en cada intervalo resultante determinar el signo de la segunda derivada
   1. En los intervalos de signo negativo, la función original es cóncava. En los intervalos de signo positivo, la función es convexa
   2. Aquellos candidatos a puntos de inflexión en los que se produzca un cambio de curvatura son, efectivamente, puntos de inflexión

Puedes consultar la teoría asociada para profundizar al respecto.

Resolución

1.-

$$\boxed{f\left(x\right)=2x^3-12x^2+18x}$$

Puesto que se trata de un polinomio, su dominio es ℝ. Buscamos la derivada segunda:

$$f\left(x\right)=2x^3-12x^2+18x\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=6x^2-24x+18\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12x-24$$

Igualando la segunda derivada a 0...

$$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 12x-24=0\Rightarrow x=\frac{24}{12}=2$$

Construimos el cuadro de signos para la segunda derivada...

$$\begin{array}{ccc}& \left(-\infty , 2\right)& \left(2, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& -& +\end{array}$$

Por tanto, la función es cóncava en (-∞, 2). La función es convexa en (2, ∞). El punto de inflexión está en x=2.

2.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\ln \left(x^2+2x+2\right)}$$

En este caso, el dominio de la función es $x^2+2x+2>0\Rightarrow Dom\left(f\right)=\mathrm{ℝ}$.

Buscamos la segunda derivada...

$$f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x+2}{x^2+2x+2}\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{2\left(x^2+2x+2\right)-\left(2x+2\right)\left(2x+2\right)}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}=\frac{-2x\left(x+2\right)}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}$$

Igualando la segunda derivada a 0 obtenemos...

$$-2x\left(x+2\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=0\\ x_2=-2\end{array}\right.$$

Con ambos candidatos a puntos de inflexión hacemos el cuadro de signos...

$$\begin{array}{cccc}& \left(-\infty , -2\right)& \left(-2,0\right)& \left(0, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& -& +& -\end{array}$$

Por tanto, la función es cóncava en (-∞, -2) y en (0, ∞). La función es convexa en (-2, 0). Los puntos de inflexión están en x=-2 y en x=0.

3.-

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x^2-2}{x}}$$

Comenzamos quitando del dominio aquellos valores que anulan el denominador, con lo que Dom(f)=ℝ-{0}. Ahora buscamos la segunda derivada:

$$\begin{array}{c}f\text{'}\left(x\right)=\frac{2x^2-\left(x^2-2\right)}{x^2}=\frac{x^2+2}{x^2}\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{2x^3-2x\left(x^2+2\right)}{x^4}=\frac{-4}{x^3}\end{array}$$

Igualando la segunda derivada a 0 obtenemos x₁=0, x₂=-2 y x₃=2. Construimos nuestro cuadro de signos:

$$\begin{array}{ccc}& \left(-\infty , 0\right)& \left(0, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& +& -\end{array}$$

Por tanto, la función es cóncava en (0, ∞) y convexa en (-∞, 0). Dado que x=0 no pertenece al dominio, no se trata de un punto de inflexión.

4.-

$$\boxed{f\left(x\right)=e^x\left(x-2\right)}$$

El dominio de la función está formado por el conjunto de los números reales. Por otro lado, buscamos la segunda derivada:

$$f\text{'}\left(x\right)=e^x\left(x-2\right)+e^x=e^x\left(x-1\right)$$

Volvemos a derivar...

$$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=e^x\left(x-1\right)+e^x=e^{x}x$$

El único valor que hace f''(x)=0 es x=0, candidato a punto de inflexión, con lo que ya podemos construir nuestra tabla de signos...

$$\begin{array}{ccc}& \left(-\infty , 0\right)& \left(0, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}\text{'}& -& +\end{array}$$

Esto quiere decir que en el tramo (-∞, 0) la fución es cóncava, y en el tramo (0, ∞) es convexa, siendo x=0 la abscisa del punto de inflexión de la función f.