Coeficientes de función a partir de sus características

Consideraciones previas

Cuando una función corta al eje de abscisas (eje x) en x=k entonces pasa por (k, 0), es decir, cuando la x=k, la coordenada y vale 0.

Cuando una función corta al eje de ordenadas (eje y) en y=k entonces pasa por (0, k), es decir, cuando la x=0, la coordenada y vale k.

Cuando una función tiene un máximo o un mínimo relativo en un punto (x_m, y_m), entonces se cumple, por un lado, que debe pasar por dicho punto, es decir f(x_m)=y_m, y además f'(x_m)=0. Consulta la teoría asociada a la búsqueda de extremos de una función para saber más.

Cuando la recta tangente a una función en un punto con x=x_p es paralela a otra recta dada en la forma y=mx+n, entonces debemos fijarnos en la pendiente de esta última, es decir, m. Como la derivada de una función evaluada en un valor de x nos da la pendiente de la recta tangente de la función original en ese punto, se cumplirá que f'(x_p)=m. Consulta la teoría asociada a la búsqueda de la recta tangente para saber más.

Cuando una función tiene un punto de inflexión en (x_i, j), se cumple, por un lado, que debe pasar por dicho punto, es decir f(x_i)=j, y por otro:

$$f\text{'}\text{'}\left(x_{\mathrm{i}}\right)=0\text{ y }f\text{'}\text{'}\text{'}\left(x_{\mathrm{i}}\right)\ne 0$$

Aunque la información de la tercera derivada no nos sirve para concretar los coeficientes, sí que nos servirá la información extraída de la segunda derivada. Consulta la teoría asociada a la búsqueda de los puntos de inflexión para saber más.

Resolución

1.-

A partir de las consideraciones señaladas anteriormente, tenemos:

$$f\left(0\right)=0\Rightarrow {\overline{)x^3+a{x}^2+bx+c}}_{x=0}=0\Rightarrow c=0$$

Por otro lado...

$$f\left(3\right)=1\Rightarrow {\overline{)x^3+a{x}^2+bx+0}}_{x=3}=1\Rightarrow 27+9a+3b=1\Rightarrow 9a+3b=-26$$

Buscamos la segunda derivada de f(x) :

$$f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+b ; f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x+2a$$

Imponiendo la condición del punto de inflexión nos queda:

$$f\text{'}\text{'}\left(3\right)=0\Rightarrow 6·3+2a=0\Rightarrow 2a=-18\Rightarrow a=-9$$

Volviendo a 9a+3b=-26 nos queda:

$$-9·9+3b=-26\Rightarrow b=\frac{55}{3}$$

La función buscada es...

$$f\left(x\right)=x^3-9x^2+\frac{55}{3}x$$

2.-

En esta ocasión...

• f'(x)=3ax²+2bx+c

• f''(x)=6ax+2b

Aplicando las condiciones señaladas obtendríamos...

1. f(0)=1⇒a·0³+b·0²+c·0+d⇒d=1

2. f'(-1)=0⇒3·a-2·b+c=0

3. f'(1)=2⇒3·a+2·b+c=2

4. f''(-1/6)=0⇒6·a·(-1/6)+2·b=0

Para resolver el sistema podemos utilizar cualquier método al que estemos habituados. Concretamente nosotros despejaremos b de la ecuación [3], con lo que queda:

$$6a\left(\frac{-1}{6}\right)+2b=0\Rightarrow b=\frac{a}{2}$$

Sustituyendo en [2] y en [3], nos queda...

$$\left\{\begin{array}{l}3a-2b+c=0\\ 3a+2b+c=2\end{array}\underset{b=a/2}{\Rightarrow }\left\{\begin{array}{l}3a-a+c=0\\ 3a+a+c=2\end{array}\right.\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{l}\overline{)-2} 2a+c=0\\ 4a+c=2\end{array}\Rightarrow \right.\left\{\begin{array}{c}\cancel{-4a}-2c=0\\ \cancel{4a}+c=2\\ -c=2\end{array}\Rightarrow c=-2\right.$$

Despejamos a:

$$4a+c=2$$

Ya estamos en disposición de obtener b a partir de a: b=a/2⇒b=1/2