Cuestiones de comprensión del teorema de Bolzano

Consideraciones previas

El teorema de Bolzano permitiría afirmar que existe un valor x=0 en el intervalo considerado f(c)=0 si se cumpliesen sus dos hipótesis o premisas:

• La función es continua en él, y...
• ...el signo de la función es diferente en los extremos del mismo

A partir de estas consideraciones, veamos.

Resolución

1.

La primera premisa se cumple, por el enunciado. La segunda hipótesis es que el signo de la función sea disitinto en los extremos del intervalo. En nuestro caso nos dicen que el cociente de f(a) entre f(b) es un número negativo por lo que necesariamente el numerador y el denominador, que son los valores para los extremos del intervalo, deben ser de distinto  signo. Concluimos por tanto que se cumplen las hipótesis del teorema y por lo tanto se puede aplicar..

2.

Efectivamente, el teorema de Bolzano nos dice que si una función cambia de signo en los extremos de un intervalo toma el valor de cero en algún punto de él. Veamos si se cumplen las premisas.

• La función cambia de signo en los extremos del intervalo:

  $$\begin{array}{c}f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=1\\ f\left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)=\tan \left(\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\right)=-1\end{array}$$

  Por tanto está condición si se cumple, como queda de manifiesto en el propio enunciado de la función.

• Pero hay una segunda condición, la función tiene que ser continua en el intervalo. Si recuerdas como se define la función tangente, f(x)=tan(x)=sin(x)/cos(x). Los valores que hagan 0 el denominador habrá que quitarlos del dominio de la función tangnte. El cos(x) se anula en múltiplos de π/2. Como π/2 está en el intervalo considerado, la función no es continua

Como no se cumple la premisa de la continuidad, no podemos afirmar que exista x=c perteneciente al intervalo $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{4}} {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right]$ tal que f(c)=0.

Ten presente que el hecho de que no podamos afirmar que exista alguna raíz aplicando Bolzano, no implica que, de hecho, no exista. No obstante, en este caso particular, y recordando la gráfica de la función tangente, vemos que no hay ningún corte con el eje x en el intervalo considerado.