Ecuación de la Hipérbola

Definición de hipérbola

Una hiperbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante.

Hipérbola

Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus focos F y F'. Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante.

Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que:

$$\left|d\left(P,F\right)-d(P,F\text{'})\right|=2·a$$

Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante

Elementos de la hipérbola

En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a continuación:

• Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
• Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
• Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
• Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
• Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c.
• Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c.
• Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal.
• Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cuaqluiera de los vertices A o A'. Su longitud es a. 
• Semieje imaginario (b). $b=\sqrt{c^2-a^2}$

Ecuación de la hipérbola

De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje focal se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos tipos de ecuaciones.

Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P(x₀,y₀) cualquiera

Hipérbola de eje focal vertical centrada en un punto P(x₀,y₀) cualquiera

Casos particulares de las hipérbolas

Si las hipérbolas se encuentran centradas en el origen de coordenadas, las ecuaciones anteriores se pueden reducir considerablemente ya que x₀=0 e y₀=0. Teniendo en cuenta este hecho:

Hipérbola de eje focal horizontal centrada en el origen

Hipérbola de eje focal vertical centrada en el origen

Excentricidad de la hipérbola

A partir de la semidistancia focal y el semieje real es posible obtener un valor númerico que nos indique como de "abierta" o "amplia" es una hipérbola. Dicho valor recibe el nombre de excentricidad.

Este valor siempre será mayor que 1 y cuanto mayor sea su valor más "estrecha" o "cerrada" será la hipérbola.

Asíntotas de la hipérbola

En las hipérbolas es posible dibujar dos rectas que pasan por su origen y que son tangentes a la hipérbola en el infinito.