Sucesiones

Es común que en nuestro día a día nos encontremos con series de números, figuras o funciones que nos representan hechos o situaciones de la vida real. Por ejemplo, en competiciones deportivas es común trabajar con series.

Clasificación de la Eurocopa de Fútbol

En la Eurocopa comienzan 32 equipos de forma que en cada ronda el número de equipos que quedan es una serie de números formada por los siguientes elementos:

32, 16, 8, 4, 2, 1

En Matemáticas esa serie de números recibe el nombre sucesiones y a cada elemento de esa serie se le denomina término. 

Más concretamente a lo largo de este apartado vamos a estudiar:

• El concepto de sucesión
• Tipos de sucesiones
• ¿Qué son las progresiones aritméticas?
• ¿Qué son las progresiones geométricas?
• ¿Cómo calcular la suma de los términos de una progresión aritmética?
• ¿Cómo calcular la suma de los términos de una progresión geométrica?
• ¿Cómo calcular el producto de los términos de una progresión geométrica?

Concepto de Sucesión

Tipos de sucesiones

Finitas o infinitas

Dependiendo de si la sucesión termina alguna vez o no, podemos distinguir dos tipos de sucesiones:

• Sucesiones finitas. La sucesión termina en un momento determinado.
• Sucesiones infinitas. La sucesión no termina nunca.

Sucesiones opuestas

Se dice que dos sucesiones con terminos generales a_n y b_n respectivamente son sucesiones opuestas si el valor absoluto de sus términos generales es el mismo.

Sucesiones inversas

Se dice que dos sucesiones con terminos generales a_n y b_n respectivamente son sucesiones inversas si uno de sus términos generales es el inverso del otro término general.

Dentro de las sucesiones, es posible distinguir dos tipos muy particulares que se presentan en multitud de situaciones de la vida. Estos tipos son las denominadas progresiones aritméticas y geométricas.

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es mayor o igual que el anterior.

a_n+1 ≥ a_n

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si cada uno de sus términos es menor o igual que el anterior.

a_n+1 ≤ a_n

Sucesiones extrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es mayor que el anterior.

a_n+1 > a_n

Sucesiones extrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es menor que el anterior.

a_n+1 < a_n

Sucesiones monótonas

Se dice que una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es creciente si cada uno de sus términos es igual que el anterior.

a_n+1 = a_n

Sucesiones acotadas inferiomente

Se dice que una sucesión es acotada inferiormente si cada uno de sus términos es igual o mayor que un determinado valor V denominado cota inferior de la sucesión.

a_n ≥ V

Al valor más grande de las cotas inferiores se le llama ínfimo o extremo inferior. Si además el extremo inferior es un término de la sucesión, este recibe adicionalmente el nombre de mínimo.

Como podrás imaginar todas las sucesiones acotadas inferiomente son crecientes.

Sucesiones acotadas superiormente

Se dice que una sucesión es acotada inferiormente si cada uno de sus términos es igual o menor que un determinado valor V' denominado cota superior de la sucesión.

a_n ≤ V'

Al valor más grande de las cotas superiores se le llama supremo o extremo superior. Si además el extremo superior es un término de la sucesión, este recibe adicionalmente el nombre de máximo.

Como podrás imaginar todas las sucesiones acotadas superiormente son decrecientes.

Sucesiones acotadas

Se dice que una sucesión es acotada si está acotada inferiormente y superiormente. Por lo tanto, todos los términos de la sucesión son mayores o iguales que un valor V y menores o iguales que un valor V'. Por tanto:

V ≤ a_n ≤ V'

Progresiones aritméticas

Las sucesiones formadas por números reales, en las que cada término excepto el primero se obtiene al sumar al término anterior una misma cantidad, reciben el nombre de progresiones aritméticas. La cantidad constante que se suma recibe el nombre de diferencia.

Por ejemplo, las siguientes son progresiones aritméticas:

• 3, 8, 13, 17, 22, ... ( el primer término es a₁ = 3 y la diferencia es d = 5 ) 
• 2, 5, 8, 11, 14, ... ( el primer término es a₁ = 2 y la diferencia es d = 3 ) 
• 7, 3, -1, -5, -9, ... ( el primer término es a₁ = 7 y la diferencia es d = -4 ) 

Suma de los términos de una progresión aritmética

Demostración

Supongamos que deseamos sumar los n primeros términos de una sucesión S cuyo primer término es a₁ y que posee de diferencia d:

$$S = a_1 + a_2+ ... + a_{n-1} + a_n$$

Si te das cuenta a₁ = a₂ - d y a_n = a_n-1 + d, por lo que si deseamos calcular a₁+a_n tenemos que:

$$\begin{gathered} a_1+a_n = a_2-d+a_{n-1}+d \Rightarrow \\ {a}_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} \end{gathered}$$

En general, la suma del primer y último término es igual a la del segundo con el el penúltimo pero también igual a la del tercero y el antepenúltimo y así sucesivamente. Por tanto se cumple que:

$$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=a_4+a_{n-3}=...$$

Si ahora sumamos en columnas la misma sucesión 2 veces aunque con los términos en orden inverso tenemos que:

$$\begin{array}{ccccccccccc}S& =& a_1& +& a_2& +& ...& +& a_{n-1}& +& a_n\\ S& =& a_n& +& a_{n-1}& +& ...& +& a_2& +& a_1\\ 2S& =& \left(a_1+a_n\right)& +& \left(a_2+a_{n-1}\right)& +& ...& +& \left(a_{n-1}+a_2\right)& +& \left(a_n+a_1\right)\end{array}$$

Dado que todos los parentesis valen lo mismo podemos concluir que:

$$2S = n·\left(a_1+a_n\right)$$

Despejando obtenemos la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.

$$S =\hspace{0.17em}\frac{a_1+a_n}{2}·n$$

Progresiones geométricas

Las sucesiones formadas por números reales, en las que cada término excepto el primero se obtiene al multiplicar al término anterior una misma cantidad, reciben el nombre de progresiones geométricas. La cantidad constante con la que se multiplica recibe el nombre de razón. 

Por ejemplo, las siguientes son progresiones aritméticas:

• 4, 8, 16, 32, 64, ... ( el primer término es a₁ = 4 y la razón es r = 2 ) 
• 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... ( el primer término es a₁ = 2 y la razón es r = 1/2 ) 
• 1, -3, 9, -27, 81, ... ( el primer término es a₁ = 1 y la razón es r = -3 ) 

Suma de los términos de una progresión geométrica

Suma de los n primeros términos

Demostración

Supongamos que deseamos sumar los n primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a₁ y su razón es r:

$$S = a_1 + a_2+ ... + a_{n-1} + a_n$$

Si tenemos en cuenta que a_n = a_n-1 · r, al multiplicar S · r obtenemos:

$$\begin{gathered} S · r= \underset{a_2}{\underbrace{a_1·r }}+ \underset{a_3}{\underbrace{a_2 ·r}}+ ... + \underset{a_n}{\underbrace{a_{n-1} ·r}} + a_n·r \Rightarrow \\ S · r = a_2 + a_3 + ... + a_n + a_n · r \end{gathered}$$

Si ahora a este resultado le restamos S, es decir, calculamos S·r - S:

$$\frac{\begin{array}{cccccccccccccc}& S · r& =& & & a_2& +& a_3& +& ...& +& a_n& +& a_n·r\\ -& & & & & & & & & & & & & \\ & S& =& a_1& +& a_2& +& a_3& +& ...& +& a_n& & \end{array}}{\begin{array}{cccccccccccc}S·r -S & =& a_1& +& a_n·r& & & & & & & \end{array}}$$

De esta forma:

$$S·\left(r-1\right) = a_n·r - a_1$$

Y dado que a_n=a₁·r_n-1, si lo sustituimos en la expresión obtenemos que:

$$S =\hspace{0.17em}\frac{a_1·\left(r^n -1\right)}{r -1}$$

Suma infinita de términos

Si en el punto anterior hemos estudiado cuanto vale la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica, cabe la posibilidad de preguntarnos cuánto valdría dicha suma si tomamos todos sus términos, es decir, infinitos términos. Para ello, Si analizamos la expresión de la suma de n términos y el valor de la razón obtenemos que si:

• $r\ge 1$. En este caso si el valor de n es cada vez más grande (tiende al infinito) el valor de rⁿ es todavía más grande, por lo que la suma sería un valor enorme: infinito. S = $+\infty$
• $r\le 1$. En este caso rⁿ a veces tomará un valor negativo y otras veces positivo dependiendo de si n es par o impar lo que hace que la suma no tienda hacía un valor determinado.
• $-1<r<1$. Si r toma un a valor dentro de este rango rⁿ tenderá a 0, lo que provoca que:
  $$\begin{gathered} S =\hspace{0.17em}\frac{a_1·\left(r^n -1\right)}{r -1} \Rightarrow \left\{r^n\to 0\right\} \Rightarrow \\ S = \hspace{0.17em}\frac{-a_1}{r -1} Si \left|r\right|<1 \end{gathered}$$

Producto de los términos de una progresión geométrica

Demostración

Supongamos que deseamos multiplicar los n primeros términos de una progresión geométrica cuyo primer término es a₁ y su razón es r:

$$P=a_1·a_2·...·a_{n-1}·a_n$$

Observa que se cumple que:

$$\begin{gathered} a_1·a_n = \frac{a_2}{r}·a_{n-1}·r = \frac{a_3}{r^2}·a_{n-2}·r^2 = ... \Rightarrow \\ {a}_1·a_n = a_2 · a_{n-1} = a_3 · a_{n-2} = ... \end{gathered}$$

Por tanto, podemos multiplicar dos veces P, aunque con los términos invertidos:

$$\frac{\begin{array}{cccccccccccc}P& =& a_1& ·& a_2& ·& ...& ·& a_{n-1}& ·& a_n& \\ P& =& a_n& ·& a_{n-1}& ·& ...& ·& a_2& ·& a_1& \end{array}}{\begin{array}{cccccccccccc}{P}^2& =& \left(a_1·a_n\right)& ·& \left(a_2· a_{n-1}\right)& ·& ...& ·& \left(a_{n-1}·a_2\right)& ·& \left(a_n·a_1\right)& \end{array}}$$

Dado que el valor de los paréntesis es el mismo y disponemos de n paréntesis:

$$\begin{gathered} P^2 = {\left(a_1·a_n\right)}^n \Rightarrow \\ P=\sqrt{{\left(a_1·a_n\right)}^n} \end{gathered}$$