Producto Vectorial

El producto vectorial de un vector $\overrightarrow{a}$  y otro $\overrightarrow{b}$ , denotado como $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ , es un vector $\overrightarrow{r}$ tal que:

• Módulo :  $\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|·\left|\overrightarrow{b}\right|·\sin \left(\alpha \right)$ 
• Dirección : Es perpendicular al plano que definen ambos vectores
• Sentido : Queda definido por cualquiera de las siguientes reglas:
  • ​Regla del sacacorchos o del tornillo. El sentido es el mismo sentido de avance de un sacacorchos o tornillo que girase desde $\overrightarrow{a}$  hasta $\overrightarrow{b}$  por el camino más corto
  • Regla de la mano derecha con la palma. También puedes utilizar la palma de tu mano, orientándola desde $\overrightarrow{a}$  hasta $\overrightarrow{b}$  por el camino más corto. El dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en la figura inferior
  • Regla de la mano derecha con tres dedos. Otra opción es utilizar tu mano derecha y los dedos índice ( $\overrightarrow{a}$  ), corazón o medio ( $\overrightarrow{b}$  )  y pulgar ( $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$  ), tal y como se ve en la figura inferior

Como puedes observar, el producto vectorial no es conmutativo ( $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$  ) sino anticonmutativo ( $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$ ).

Expresión analítica

La expresión analítica del producto vectorial $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$  expresa $\overrightarrow{r}$  en función de sus componentes cartesianas r_x , r_y , r_z , a partir de las componentes cartesianas de $\overrightarrow{a}$  , a_x , a_y , a_z , y $\overrightarrow{b}$  , b_x , b_y , b_z . Utilizamos para ello los determinantes de rango 3 x 3.

Donde:

• $\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}$ : Son los vectores a los cuales se aplica el producto vectorial cuyas componentes son a_x , a_y , a_z y b_x , b_y , b_z respectivamente
• $\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}$ : Son los vectores unitarios (su módulo es 1) en los sentidos de los ejes x , y , z respectivamente

Comprobación

Para realizar la comprobación de la expresión anterior debes de tener en cuenta que:

• el módulo del producto vectorial de un vector a por sí mismo es $r=a·a·\sin \left(0\right)=0$, quedando:

  $$\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{0}$$

• por otro lado, teniendo en cuenta que la dirección del producto vectorial es perpendicular al plano que definen los vectores, y la propiedad anticonmutativa, nos queda:

  $$\begin{gathered} \overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k} ;\hspace{0.17em}\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}=-\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i} ;\hspace{0.17em}\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}=-\overrightarrow{i} \\ \overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j} ;\hspace{0.17em}\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=-\overrightarrow{j} \end{gathered}$$

Finalmente, usando la propiedad distributiva a partir de las componentes cartesianas, nos queda:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(a_x·\overrightarrow{i}+a_y·\overrightarrow{j}+a_z·\overrightarrow{k}\right)\times \left(b_x·\overrightarrow{i}+b_y·\overrightarrow{j}+b_z·\overrightarrow{k}\right)= \\ =a_x·b_x·\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i}+a_x·b_y·\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}+a_x·b_z·\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k}+ \\ +a_y·b_x·\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}+a_y·b_y·\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j}+a_y·b_z·\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}+ \\ +a_z·b_x·\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}+a_z·b_y·\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}+a_z·b_z·\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{k}= \\ =\left(a_y·b_z-b_y·a_z\right)·\overrightarrow{i}+\left(a_z·b_x-b_z·a_x\right)·\overrightarrow{j}+\left(a_x·b_y-b_x·a_y\right)·\overrightarrow{k} \end{gathered}$$

¿Qué pasa si los vectores son sólo de dos componentes?

En ocasiones, para simplificar cálculos, solemos trabajar con vectores en dos dimensiones. Teniendo en cuenta que la dirección del producto vectorial es siempre perpendicular al plano que forman los vectores, necesitaremos una tercera dimensión para poder expresarlo. Para obtener la expresión analítica podemos suponer que la componente z de cada vector es cero, tal y como hacemos en el siguiente ejercicio.

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial tiene igual valor que el área del paralelogramo obtenido a partir de los vectores $\overrightarrow{a}$  y $\overrightarrow{b}$ , tal y como puede verse en la figura.

Observa que:

Representación en tres dimensiones

En el siguiente experimenta y aprende se representa el producto vectorial en el espacio. Aunque resulta algo difícil de manipular, sirve para que puedas ver con claridad como functiona esta operación y entiendas las propiedades que hemos tratado.

Experimenta y Aprende

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Representación gráfica del producto vectorial

El vector rojo , $\overrightarrow{r}$ , es el producto vectorial de los vectores azul,  $\overrightarrow{a}$  y verde  $\overrightarrow{v}$. El paralelogramo formado por  $\overrightarrow{a}$  y  $\overrightarrow{v}$  es rosa en el lado hacia el que apunta  $\overrightarrow{r}$  y púrpura en el opuesto. Usa el ratón para mover los vectores  $\overrightarrow{a}$  y  $\overrightarrow{v}$  y observa como:

• la dirección del producto vectorial  $\overrightarrow{r}$  siempre es perpendicular a ambos  $\overrightarrow{a}$  y  $\overrightarrow{v}$ 
• se cumple la propiedad anticonmutativa: $a\times v=-v\times a$
• el módulo de  $\overrightarrow{r}$ , r , coincide en valor con el área del paralelogramo

  • cuando  $\overrightarrow{a}$  y  $\overrightarrow{v}$  son paralelos, es decir, tienen igual dirección α = 0 ó α = 180, el área del paralelogramo es cero, y por tanto  $\overrightarrow{r}$  es el vector nulo.

    $$r=a·v·\sin \left(\alpha \right)=0$$

Conclusión

En este apartado hemos presentado el producto vectorial. En física necesitamos 3 dimensiones para expresarlo. Dependiendo del problema concreto al que nos enfrentemos podemos expresar el producto vectorial $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ :

• como un módulo r y un vector unitario ${\overrightarrow{u}}_N$  que marque dirección, obtenida a partir de la regla de la mano derecha $r·{\overrightarrow{u}}_N$
• según sus componentes cartesianas, a partir de la expresión analítica (determinante 3x3), $\overrightarrow{r}=(r_x , r_y , r_z)=r_x·\overrightarrow{i}+r_y·\overrightarrow{j}+r_z·\overrightarrow{k}$