Fuerzas y M.C.U. en Curvas Planas y Curvas Peraltadas

A lo largo de este apartado vamos a estudiar la velocidad y las fuerzas que intervienen en el caso de que un cuerpo de masa m, tome una curva plana (sin ángulo de inclinación) o peraltada (con cierto ángulo de inclinación), ambas de radio R a velocidad constante, es decir, describiendo un movimiento circular uniforme (m.c.u.).

Curva plana

En este caso particular, nos encontramos con las siguientes premisas:

• Como el cuerpo describe un m.c.u., este posee aceleración normal orientada hacia el centro de la curva y por tanto debe sufrir la acción de una fuerza que origine dicha aceleración: la fuerza centrípeta. 
• La fuerza centrípeta que obliga a cambiar la dirección del movimiento es la fuerza de rozamiento.
• Adicionalmente en el cuerpo intervienen la fuerza normal y su peso.

Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton a la resultante de las fuerzas de cada eje de coordenadas, y sabiendo que como no se mueve a lo largo del eje x (a_y=0, a_x=a_n), obtenemos que:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}{\sum }_{}{F}_x=m·a_x\\ {\sum }_{}{F}_y=m·a_y\end{array}\right\} \Rightarrow \\ \left.\begin{array}{r}{F}_R=m·a_x\\ N-P=m·\cancel{a_y}\end{array}\right\} \Rightarrow \\ \left.\begin{array}{r}\mu ·N=m·\frac{v^2}{R}\\ N=m·g\end{array}\right\}\Rightarrow \\ \mu ·\cancel{m}·g=\cancel{m}·\frac{v^2}{R} \Rightarrow \\ \boxed{v=\sqrt{\mu ·g·R}} \end{gathered}$$

Este valor de v, se trata del valor de velocidad máxima que puede alcanzar el cuerpo sin derrapar.

Curva peraltada

Al igual que en el apartado anterior, vamos a analizar el movimiento:

• Es parecido al caso de la curva plana, pero en esta ocasión la curva posee un ángulo A de inclinación.
• Sigue describiéndose un m.c.u. y por tanto, el cuerpo posee aceleración normal y fuerza centrípeta. 
• Iguamente siguen interviniendo la fuerza normal, el peso y la fuerza de rozamiento.
• La fuerza normal por definición es perpendicular a la superficie y por tanto, no coincide con el eje de coordenadas, por lo que se puede descomponer en dos fuerzas N_x y N_y.
• La fuerza de rozamiento es perpendicular a la superficie, y por tanto no coincide con nuestro sistema de referencia, por lo que podemos descomponerlo en dos fuerzas FR_x y FR_y.
• En esta ocasión la fuerza centrípeta es la suma de la fuerza de rozamiento y la fuerza normal en el eje x.

Aplicando la segunda ley de Newton, y sabiendo que como no se mueve a lo largo del eje x (a_y=0, a_x=a_n), obtenemos que:

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{r}{\sum }_{}{F}_x=m·a_x\\ {\sum }_{}{F}_y=m·a_y\end{array}\right\} \Rightarrow \\ \left.\begin{array}{r}{F}_{Rx}+N_x=m·a_x\\ N_y-{F_R}_y-P=m·\cancel{a_y}\end{array}\right\} \Rightarrow \\ \left.\begin{array}{r}\mu ·N·\cos \left(\alpha \right)+N·\sin \left(\alpha \right)=m·\frac{v^2}{R}\\ N·\cos \left(\alpha \right)-\mu ·N·\sin \left(\alpha \right)-m·g=0\end{array}\right\}\Rightarrow \\ \left.\begin{array}{r}N·\left(\mu ·\cos \left(\alpha \right)+\sin \left(\alpha \right)\right)=m·\frac{v^2}{R}\\ N=\frac{m·g}{\cos \left(\alpha \right)-\mu ·\sin \left(\alpha \right)}\end{array}\right\} \end{gathered}$$

Sustituyendo el valor de N de la segunda ecuación en la primera, y despejando v:

$$\boxed{v=\sqrt{g·R·\frac{\sin \left(\alpha \right)+\mu ·\cos \left(\alpha \right)}{\cos \left(\alpha \right)-\mu ·\sin \left(\alpha \right)}}}$$

Este valor de v, se trata del valor de velocidad máxima que puede alcanzar el cuerpo sin derrapar.