Clavo en pared y segunda ley de Newton

Enunciado

dificultad

Pablito está clavando un clavito en la pared con un martillo de 2 kg de masa. Cuando este impacta con el clavo su velocidad es de 6 m/s. ¿Qué fuerza opone la madera al movimiento del clavo, suponiendo que este se hunde 5 mm?

Solución

Datos

Masa del martillo m_martillo= 2 kg
Velocidad inicial del martillo v_o = 6 m/s
Distancia recorrida por el clavo x = 5 mm = 5·10^-3 m

Consideraciones previas

Podemos suponer el martillo y el clavo como un único elemento que avanza perforando la madera y disminuyendo progresivamente su velocidad, debido a la fuerza que opone la madera. Supondremos que esta fuerza que opone la madera es constante y que la masa del clavo es despreciable frente a la del martillo.

Resolución

La estrategia de resolución consiste en buscar la aceleración a la que se encuentra sometido el conjunto martillo-clavo, y a partir de ella y de la segunda ley de Newton, calcular la fuerza de resistencia de la pared.

El conjunto martillo-clavo tiene una velocidad inicial de v_o = 6 m/s, y una final de v_f = 0, ya que la fuerza que opone la madera hace que se desacelere. Asumiento que la fuerza es constante, la aceleración también lo será, con lo que nos encontramos ante un m.r.u.a, cuyas ecuaciónes son (suponiendo que nos desplazamos en el eje x):

$a = c t e v_{f} = v_{0} + a \cdot t x = x_{0} + v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2}$

A partir de la segunda y la tercera ecuación podemos obtener la aceleración a la que se encuentra sometido el sistema martillo-clavo. Para ello proponemos el siguiente proceso:

$\begin{array}{r} v_{f} = v_{0} + a \cdot t \\ x = x_{0} + v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} \end{array}\} \begin{array}{r} 0 = 6 + a \cdot t \\ 5 \cdot 10^{- 3} = 0 + 6 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^{2} \end{array}\} \begin{array}{r} a \cdot t = - 6 \\ 5 \cdot 10^{- 3} = 0 + 6 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t \cdot t \end{array}\}$

Y sustituimos la ecuación superior en la inferior:

$5 \cdot 10^{- 3} = 0 + 6 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t \cdot t \Rightarrow 5 \cdot 10^{- 3} = 6 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot (- 6) \cdot t \Rightarrow 5 \cdot 10^{- 3} = 3 \cdot t \Rightarrow t = \frac{5}{3} \cdot 10^{- 3} s$

Sustituyendo en la primera ecuación...

$0 = 6 + a \cdot t \Rightarrow - 6 = a \cdot \frac{5}{3} \cdot 10^{- 3} \Rightarrow a = - \frac{18}{5} \cdot 10^{- 3} m / s^{2}$

Donde el signo - indica que la velocidad va disminuyendo, como cabía esperar de una fuerza de resistencia. Por otro lado, observa que, aunque las ecuaciones presentadas son todas las que necesitas para resolver cualquier problema de m.r.u.a, podríamos haber utilizado la siguiente ecuación para llegar al mismo resultado de manera más inmediata:

$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot ∆ x$

Observa que esta última ecuación puedes obtenerla a través de las anteriores tal y como se pone de manifiesto en el apartado de ecuaciones de m.r.u.a. ya indicado.

En cualquier caso, una vez obtenida la aceleración, podemos calcular la fuerza pedida a partir de la segunda ley de Newton:

$F = m \cdot a \Rightarrow F = 2 \cdot (- \frac{18}{5} \cdot 10^{- 3}) = - 7.2 \cdot 10^{- 3} N$

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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