Continuidad y sus tipos en gráficas

Consideraciones previas

Gráficamente podemos saber si una función es contínua o no mirando si la podemos "dibujar" con un solo trazado. Te recomendamos que consultes el apartado relacionado para estudiar los distintos tipos de discontinuidad y cómo son gráficamente.

Resolución

La primera función es continua en ℝ: puede ser representada de un solo trazado. Observa que presenta un punto anguloso en x=3 y otro en x=4, pero estos no suponen ningún problema para la continuidad de la función.

La segunda función presenta varias discontinuidades. La primera, en x=-3. Como puedes ver, se trata de una asíntota vertical, que desde el punto de vista de la discontinuidad es de tipo inevitable de salto infinito. En ese punto se cumple:

$$\begin{gathered} \nexists f\left(-3\right) \\ \underset{x\to -3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\infty \\ \underset{x\to -3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \end{gathered}$$

La segunda en x=1, es una discontinuidad inevitable de salto finito. Concretamente el salto es de magnitud 4. En ella se cumple:

$$\begin{gathered} f\left(1\right)=0 \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=0 \\ \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=4 \end{gathered}$$

Existen dos discontinuidades. La primera en x=-2, es una discontinuidad evitable. En ella se cumple:

$$\begin{gathered} \nexists f\left(-2\right) \\ \underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=1 \end{gathered}$$

La razón de que la llamemos evitable es que bastaría hacer f(-2)=1 para que la función fuese continua en el punto. Por otro lado, en x=0 hay una asíntota vertical, con lo que se trata de una discontinuidad inevitable de salto infinito. En ella se cumple:

$$\begin{gathered} f\left(0\right)=2 \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \end{gathered}$$

El único punto de discontinuidad está en x=-1. Se trata de una discontinuidad evitable, ya que en él se cumple:

$$\begin{gathered} f\left(-1\right)=2 \\ \underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)=-2 \end{gathered}$$

Bastaría hacer coincidir el valor de la función con el del límite para convertir la función en continua (f(-1)=2).