Tasa de variación media en gráficas

Consideraciones previas

La tasa de variación media de una función en un intervalo nos permite estudiar el cambio que experimenta dicha función en el intervalo.

$$T.V.M{.}_{\left[a, b\right]}=\frac{\text{Variación de} y}{\text{Variación de} x}=\frac{∆y}{∆x}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$$

Recuerda que, geométricamente, definimos la tasa de variación media entre dos puntos, a y b, como la pendiente de la recta secante que pasa por dichos puntos.

Resolución

a)[-2,0]

En este primer caso, son a=-2 y b=0 los extremos del intervalo. Fijándonos en la gráfica deducimos que f(a)=f(-2)=2 y f(b)=f(0)=1 por lo tanto nos quedaría:

$$T.V.M{.}_{\left[-2,0\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{1-2}{0-2}=\frac{1}{2}$$

b)[-2,3]

Para a=-2 y b=3 y con los datos de la gráfica f(a)=f(-2)=2 y f(b)=f(3)=2:

$$T.V.M{.}_{\left[-2,3\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{2-2}{3-\left(-2\right)}=\frac{0}{5}=0$$

c)[0,4]

Cuando a=0 y b=4, entonces f(a)=f(0)=1 y f(b)=f(4)=4 con lo que tendríamos:

$$T.V.M{.}_{\left[0,4\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{4-1}{4-0}=\frac{3}{4}$$

a)[-4,-2]

Siendo a=-4 y b=-2, tendríamos f(a)=f(-4)=0 y f(b)=f(-2)=2 y nos quedaría:

$$T.V.M{.}_{\left[-4,-2\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{2-0}{-2-\left(-4\right)}=\frac{2}{2}=1$$

b)[-2,2]

Para a=-2 y b=2 deducimos f(a)=f(-2)=2 y f(b)=f(2)=-3 y solucionamos:

$$T.V.M{.}_{\left[-2,2\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{-3-2}{{\displaystyle 2}{\displaystyle -}\left(-2\right)}=-\frac{5}{4}$$

c)[-4,4]

Cuando a=-4 y b=4 sabemos que f(a)=f(-4)=0 y f(b)=f(4)=-1, entonces:

$$T.V.M{.}_{\left[-4,4\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{-1-0}{{\displaystyle 4}{\displaystyle -}\left(-4\right)}=-\frac{1}{8}$$

a)[-3,-1]

Aquí tenemos a=-3 y b=-1, así f(a)=f(-3)=3 y f(b)=f(-1)=3 y:

$$T.V.M{.}_{\left[-3,-1\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{3-3}{{\displaystyle -}{\displaystyle 1}{\displaystyle -}\left(-3\right)}=-\frac{0}{2}=0$$

b)[1,3]

En este caso a=1 y b=3, por lo que f(a)=f(1)=-2 y f(b)=f(3)=-2 y:

$$T.V.M{.}_{\left[1,3\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{-2-\left(-2\right)}{{\displaystyle 3}{\displaystyle -}1}=-\frac{0}{2}=0$$

c)[-3,3]

Por último aquí a=-3 y b=3, deducimos f(a)=f(-3)=3 y f(b)=f(3)=-2 y nos queda:

$$T.V.M{.}_{\left[-3,3\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=\frac{-2-3}{{\displaystyle 3}{\displaystyle -}\left(-3\right)}=-\frac{5}{6}$$

a)[a,b]

Sabemos que la tasa de variación media entre dos puntos a y b es la pendiente de la recta secante que pasa por dichos puntos. Para conocer la pendiente de la recta solo habremos de considerar la ecuación dada en la imagen del ejercicio y=x/2+2 y fijarnos en lo que acompaña a la x, asi la pendiente de la recta será de 1/2.

Si no te percatas de esto, siempre puedes aplicar la formula usada hasta ahora, teniendo en cuenta que el valor de la función en a y b es igual al valor de la recta en esos puntos:

$$\begin{gathered} T.V.M{.}_{\left[a,b\right]} =\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\Rightarrow \begin{array}{c}f\left(a\right)=y_a=\frac{a}{2}+2 \\ \\ f\left(b\right)=y_b=\frac{b}{2}+2\end{array} \\ T.V.M{.}_{\left[a,b\right]}=\frac{\left(\frac{b}{2}+2\right)-\left(\frac{a}{2}+2\right)}{b-a}=\frac{{\displaystyle \frac{b+4-a-4}{2}}}{b-a}=\frac{{\displaystyle \frac{b-a}{2}}}{b-a}=\frac{\cancel{b-a}}{2\cancel{\left(b-a\right)}}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$