Parámetro en función a partir de extremos

Consideraciones previas

Cuando nos dicen que la función tiene un extremo en (1,3) en realidad me están dando una información doble:

• La función pasa por (1, 3) , es decir, f(1)=3
• La primera derivada de la función en 1 vale cero, es decir, f'(1)=0

Resolución

En primer lugar, calculamos la expresión de la derivada:

$$f\text{'}\left(x\right)=2x+b$$

A partir de las dos consideraciones qu hemos hecho anteriormente podemos obtener un sistema:

$$\begin{array}{c}f\left(1\right)=3\Rightarrow 1+b+c=3\\ f\text{'}\left(1\right)=0\Rightarrow 2+b=0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{c}c=4\\ b=-2\end{array}$$

Por tanto, la función buscada es f(x)=x²-2x+4. Observa que se trata de una parábola con las ramas hacia arriba, con lo que en x=1 lo que hay es necesariamente un mínimo. La tabla de signos de la derivada así lo indica:

$$\begin{array}{ccc}& (-\infty , 1)& \left(1, \infty \right)\\ \text{signo} f\text{'}& -& +\end{array}$$

La función es decreciente en el intervalo (-∞, 1) y creciente en (1, ∞), con lo que x=1 es, efectivamente, un mínimo.