Bolzano en función a trozos

Consideraciones previas

Para que a una función se le pueda aplicar el teorema de Bolzano en un intervalo tiene que ser continua en él y cambiar de signo en sus extremos.

Se trata, por tanto, de buscar los valores de a y b que hacen que la función cumpla las premisas indicadas.

Resolución

Las dos ramas de la función a trozos son continuas para todo ℝ, por lo tanto nos debemos de preocupar de la continuidad en el punto donde "se unen", esto es, en x=-1. Recuerda que para que una función sea continua en un punto, el valor de la propia función en el punto debe coincidir con el del límite en él. Esto, a su vez, se traduce en que los límites laterales existan y coincidan en valor. Veamos pues, qué ocurre en x=-1:

$$\left\{\begin{array}{l}f(-1)= -a {(-1)}^2+b=-a+b\\ \underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -1^{-}}{\lim }(-1)=-1\\ \underset{x\to -1^{+}}{\lim }-a x^2+b=-a+b\end{array}\Rightarrow -1=-a+b \left(1\right)\right.\\ \text{Si} -1=-a+b \text{se cumple} f(-1)=\underset{x\to -1}{\lim }f\left(x\right)\end{array}\right.$$

De esta manera la función es continua en todo el intervalo. La segunda hipótesis es que la función tiene que cambiar de signo en el intervalo [0, 2].

Despejando b de la ecuación (1), b=a-1, y la función queda:

$$y=\left\{\begin{array}{l}-1 x<1\\ -a x^2+a-1 x\ge 1\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=-1\\ f\left(2\right)=-4a+a-1\end{array}\right.\right.$$

Como f(0)=-1 es negativa f(2) ha de ser positiva:

$$-4a+a-1>0\Rightarrow -3a>1\stackrel{\text{despejamos a en positivo}}{\Rightarrow }-1>3a\Rightarrow a<\frac{-1}{3}$$

Siendo entonces la solución b=a-1 con a menor que -1/3.