Existencia de solución de ecuación por Darboux

Consideraciones previas:

Como nos dicen, no tenemos que resolver la ecuación, sino deducir sólo si tiene solución.

En este caso vamos a utilizar el teorema de los valores intermedios que nos dice que la función toma todos los valores entre f(a) y f(b) en el intervalo [a, b].

Una formulación alternativa nos dice que alcanza todos los valores intermedios entre su mínimo y máximo absoluto.

Recuerda que el teorma de Weierstrass nos asegura que toda función continua en un intervalo tiene un mínimo y máximo absoluto en dicho intervalo.

Resolución

Vamos a definir la función $y={(x-2)}^2+2$ y vamos a ver qué valores toma seguro (puede tomar más) en el intervalo dado.

$$\begin{gathered} f\left(1\right)={(-1)}^2+2=3 \\ f\left(4\right)=2^2+2=6 \end{gathered}$$

Por lo tanto la función toma todos los valores entre 3 y 6. Como el ejercicio nos pregunta si la función puede tomar el valor 45/20=2.25 y 2.25 no pertence al intervalo  [3, 6]  no podemos asegurar que la ecuación tenga solución utilizando esta opción del teorema.

Utilizamos entonces la segunda opción. Calculamos  los máximos y mínimos absolutos que, recordamos, están en los extremos del intervalo o en los extremos relativos que anulan la primera derivada dentro de ese intervalo. Veamos entonces los extremos relativos:

$$y\text{'}=2(x-2)=0\Rightarrow x=2 \Rightarrow f\left(2\right)=2$$

El punto (2, 2) es un extremo relativo o punto crítico. Tenemos que recordar que es mínimo relativo si la segunda derivada es positiva como en este caso.

$$y\text{'}\text{'}=2>0$$

Comparamos entonces los tres puntos, los extremos del intervalo y el mínimo relativo:

$$\left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=3\\ f\left(2\right)=2\\ f\left(4\right)=6\end{array}\right.$$

...y por lo tanto deducimos que el mínimo absoluto de la función coincide con el relativo para el cual la función vale f(2)=2 y el máximo absoluto  está en el extremo derecho del intervalo y el valor de la función es f(4)=6. Así, podemos asegurar que la función toma todos los valores entre 2 y 6. Como la ecuación dada es equivalente a saber si la función puede tomar el valor de 45/30=2.25 concluimos que sí, tiene solución puesto que 2.25 está entre 2 y 6.