Corte de funciones por el teorema de los valores intermedios

Consideraciones previas

Como hemos visto al estudiar el teorema de los valores intermedios, si consideramos dos funciones continuas en un intervalo [a, b], y en un extremo una está por encima, y en el otro queda por debajo, quiere decir que, en algún punto se cortan.

Nota: Existe un ejercicio similar a este, pero en el que se permite utilizar el teorema de Bolzano. Consúltalo para ver los distintos enfoques posible.

Resolución

1.-

Para decidir en qué intervalo puede ocurrir lo que queremos es conveniente fijarse en las funciones dadas. Por ejemplo, en nuestro caso el intervalo no podrá tener los dos extremos positivos puesto que una de las funciones, g(x); es mayor que uno para todo valor de la variable positivo y sabemos que la función f(x)=cos(x) no puede ser mayor que la unidad. Por lo tanto ya sabemos que para cualquier x positiva la función g(x) estará "por encima" de f(x). Vamos a dar valores a la variable negativos intentando que para uno de ellos la función f(x) esté por encima de g(x). Tampoco esto tiene mucha dificultad porque sabemos que f(x)= cos(x) no podrá ser inferior a -1 y sin embargo la función g(x), por ser una recta de pendiente positiva, irá decreciendo hacia la izquierda indefinadamente. Así pues, aunque podríamos coger un intervalo más pequeño, el intervalo [-π, π] parece ser buena opción inicial. Comporbamos que se cumple lo que queremos:

$$\begin{gathered} x=-\pi \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f(-\pi )=\cos (-\pi )=-1\\ g(-\pi )=-\pi +1\simeq -2.14\end{array}\right.\Rightarrow f\left(-\pi \right)>g\left(-\pi \right) \\ x=\pi \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(\pi \right)=\cos \left(\pi \right)=-1\\ g\left(\pi \right)=\pi +1\simeq 4.14\end{array}\right.\Rightarrow f\left(\pi \right)<g\left(\pi \right) \end{gathered}$$

Por lo tanto en el intervalo dado se cumplen las condiciones que nos permiten decir que estas dos funciones se cortan en algún punto de él.

2.-

En este segundoo caso ya sabemos que la función f(x)=cos(x) oscila entre -1 y 1. La función g(x)=x² es una parábola con ramas hacia arriba, cuyo mínimo, su vértice, es (0, 0) y tomará valores siempre positivos tan altos como queramos, sin más que tomar valores de x suficientemente grandes. Así pues, aunque podríamos coger un intervalo más pequeño, el intervalo [0, π/2] parece ser buena opción inicial. Comprobamos que se cumple lo que queremos:

$$\begin{gathered} x=0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f\left(0\right)=\cos \left(0\right)=1\\ g\left(0\right)=0\end{array}\right.\Rightarrow f\left(0\right)>g\left(0\right) \\ x=\pi /2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}f(\pi /2)=\cos (\pi /2)=0\\ g(\pi /2)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2>0\end{array}\right.\Rightarrow f\left(\pi /2\right)<g\left(\pi /2\right) \end{gathered}$$

Por lo tanto en el intervalo dado se cumplen las condiciones que nos permiten decir que estas dos funciones se cortan en algún punto de él.