Optimización de función numérica

Consideraciones previas

Se trata de un problema de optimización de funciones en el que seguiremos los pasos indicados en la teoría enlazada. ¿Estás preparado?

Resolución

En primer lugar, consideramos dos números cualesquiera x e y. La función a maximizar será, por tanto, f=x·y+4. Por otro lado, tenemos la relación entre las variables x+y=4. Por tanto, dejamos la función a maximizar como una función de una única variable:

$$y=4-x\Rightarrow f\left(x\right)=x\left(4-x\right)+4\Rightarrow f\left(x\right)=4x-x^2+4$$

El conjunto de valores a considerar de la función f abarca todos los reales, ya que el producto de dos números más 4 puede ser cualquier valor, por lo que cualquier candidato a extremo que obtengamos haciendo la primera derivada 0 será un candidato a máximo o mínimo a considerar. Derivando f obtenemos:

$$f\text{'}\left(x\right)=4-2x$$

Y haciéndola 0 obtenemos el candidato:

$$0=4-2x\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2$$

¿Se trata de un máximo o un mínimo? Tenemos tres formas de averiguarlo:

• La función original es una parábola con las ramas hacia abajo, con lo que el valor x=2 que anula la primera derivada será necesariamente un máximo (absoluto)
• Podríamos elaborar un cuadro de signos para ver el signo de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de x=2. A partir de él, veríamos que la primera derivada tiene signo positivo a la izquierda de x=2 y negativo a la derecha, con lo que la función original es creciente a la izquierda de 2 y decreciente a la derecha, con lo que en x=2 existe un máximo (absoluto por tratarse de una parábola)
• Según el criterio de la segunda derivada para determinar máximos o mínimos, como f''(x)=-2<0, entonces x=2 es un máximo

Una vez determinado x, despejamos el valor de y de la relación:

$$x+y=4\Rightarrow y=4-x\Rightarrow y=2$$

Por tanto, los valores buscados son x=2 e y=2.