Optimización de funciones geométricas

Consideraciones previas

Nos encontramos ante un problma de optimización de funciones en el que seguiremos los pasos indicados en la teoría enlazada.

Resolución

Comenzamos el problema buscando la función a maximizar, esto es, el área del rectángulo inscrito. A priori el área de un rectángulo se puede escribir como A(b,h)=b·h, siendo b la base y h la altura del mismo.

Como hay más de una variable, debemos buscar la relación entre ellas, precisamente usando el hecho de que el rectángulo se encuentra inscrito en una circunferencia de radio 4 cm.

Rectángulo inscrito en circunferencia

En un rectángulo inscrito en una circunferencia la diagonal del mismo coincide con el diámetro de la circunferencia, apareciendo así un triángulo rectángulo.

Como sabemos, el teorema de Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo según:

$$b^2+h^2={\left(2·4\right)}^2\Rightarrow h=\sqrt{64-b^2}$$

Si sustituimos en la función a optimizar, nos queda:

$$A\left(b\right)=b\sqrt{64-b^2}\Rightarrow A\left(b\right)=\sqrt{64b^2-b^4}$$

Se trata de una función que es siempre positiva, y dado que lo que hay en el interior de la raíz debe ser positivo, el valor de la base debe estar en el intervalo:

$$64b^2-b^4\ge 0\Rightarrow b^2\left(64-b^2\right)\ge 0\Rightarrow 0\le b\le 8$$

Los máximos de la función se encontrarán entre los extremos del intervalo y los puntos críticos que sean máximos. Comenzamos derivando la función para buscar los extremos relativos:

$$A\text{'}\left(b\right)=\frac{128b-4b^3}{2\sqrt{64b^2-b^4}}=\frac{128-2b^2}{\sqrt{64-b^2}}\Rightarrow A\text{'}\left(b\right)=0\Rightarrow b=4\sqrt{2}$$

Pues bien, como candidatos tenemos:

• El extremo inferior del intervalo b=0, que como vemos no es es un máximo, pues A(0)=0
• El extremo superior del intervalo b=8, que como vemos no es es un máximo, pues A(8)=0
• El punto crítico $b=4\sqrt{2}$, que se trata de un máximo pues si elaboramos un cuadro de signos nos queda por ejemplo $A\text{'}\left(2\right)>0 y A\text{'}\left(7\right)<0$

Por ello podemos decir que el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio 4cm es aquel con:

$$b=4\sqrt{2} \text{y} h=\sqrt{64-{\left(4\sqrt{2}\right)}^2}=4\sqrt{2}$$

Es decir, que se trata en realidad de un cuadrado.