¡A por esa piedra!

Enunciado

dificultad

Una piedra se deja caer libremente al fondo de un precipicio de 80m de altura. Un segundo mas tarde una segunda piedra se lanza hacia abajo de tal forma que alcanza a la segundo justamente cuando esta llega al fondo.

¿Con qué velocidad se lanza la segunda piedra?
¿Qué velocidad llevaba la primera piedra cuando fue alcanzada?
¿Cuánto tiempo está en el aire la segunda piedra?

Solución

Discusión previa

Nos encontramos ante un problema en el que se combina un movimiento de caida libre (la primera piedra) con un lanzamiento vertical hacia abajo (la segunda piedra). Ambos son movimientos rectilíneos uniformemente acelerados (m.r.u.a.) que se desarrollan en el eje vertical (eje y). Por ello, las dos únicas ecuaciones que tendremos que usar serán las siguientes:

v = v_{0} + a \cdot t

y = y_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

Situamos el sistema de referencia en el fondo del precipicio, tal y como se indica en la siguiente figura

De esta forma, en la siguiente tabla se indican los datos que nos da el enunciado

	Piedra I	Piedra II
Velocidad final v	?	?
Velocidad Inicial v₀	0	?
Aceleración a	g = -10 m/s²	g = -10 m/s²
Tiempo t	t₁	t₂= t₁ - 1
Posición final y	0	0
Posición inicial y₀	80	80

Comenzamos sustituyendo los datos en la ecuación de posición del m.r.u.a. para la primera piedra y obtenemos el tiempo que tarda la primera piedra en llegar al suelo.

$0 = 80 + \frac{1}{2} (- 10) {t_{1}}^{2} \Rightarrow t_{1} = \sqrt{\frac{80 \cdot 2}{10}} = 4 sg$

Para el cálculo de la velocidad, simplemente aplicamos la ecuación de la velocidad en el m.r.u.a sustituyendo por los datos de la tabla y teniendo en cuenta el valor de t₁ = 4 sg:

$v_{f 1} = (- 10) \cdot 4 = - 40 m/s$

El signo menos de la velocidad indica el sentido en el que va la piedra (hacia abajo). Con esto, hemos respondido a la segunda pregunta.

Dado que la segunda piedra llega a la vez que la primera pero es lanzada un segundo después, el tiempo que está en el aire es un segundo menos que la primera, por tanto:

$t_{2} = t_{1} - 1 = 4 - 1 = 3 sg$

Con esto hemos respondido a la tercera de las preguntas.

Para responder a la primera simplemente aplicamos la ecuación de posición en el m.r.u.a para la segunda piedra, teniendo en cuenta el valor de t₂ = 3 sg:

$0 = 80 + v_{02} \cdot 3 + \frac{1}{2} (- 10) (3)^{2} \Rightarrow v_{02} = \frac{45 - 80}{3} = - 11.6 m/s$

Con esto queda respondida la primera de las preguntas.

Sobre el autor

José L. Fernández

José Luis Fernández Yagües es ingeniero de telecomunicaciones, profesor experimentado y curioso por naturaleza. Dedica su tiempo a ayudar a la gente a comprender la física, las matemáticas y el desarrollo web. Ama el queso y el sonido del mar.

Fórmulas

Estas son las principales fórmulas que debes conocer para resolver este ejercicio. Si no tienes claro su significado, te recomendamos que consultes la teoría de los apartados relacionados. Además, en ellos encontrarás, bajo la pestaña Fórmulas, los códigos que te permitirán integrar estas fórmulas en programas externos como por ejemplo Word o Mathematica.

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