Expresión analítica a partir de gráfica de función a trozos

Resolución

La primera función está formada por 3 ramas. La primera y la tercera son rectas, y la segunda es una constante. Para el caso de las rectas, sabemos que la ecuación de una recta tiene la forma y=m·x+n. Se trata de buscar los valores de m y n . Para hacerlo buscamos una pareja de puntos de valores conocidos (x₀, y₀) obtenidos observando la gráfica. Empezamos por la primera rama.

La pareja de puntos será (-2,1), (-1,2). Observa que, aunque estrictamente hablando, el punto (-1,2) no pertenece a la rama, sí que es el extremo de esta, y por tanto nos sirve para buscar la expresión analítica de la misma. El sistema nos queda:

$$\left.\begin{array}{r}\left[1\right] 1=-2m+n\\ \left[2\right] 2=-m+n\end{array}\right\}\underset{-1·\left[2\right]}{\Rightarrow }\left.\begin{array}{c}1=-2m+n\\ -2=m-n\\ -1=-m\end{array}\right\}\Rightarrow \boxed{m=1\Rightarrow n=3}$$

En cuanto a los límites de la rama, vemos que son el x=-3, incluido, y el x=-2, no incluido. Esto es, -3≤x<-1.

La segunda rama es, como hemos dicho, una constante. (y=-1). Los límites de la rama, x=0, no incluido, y x=1, ¿incluido?. Dejemos esta cuestión aparcada de momento, y pasemos a la última rama.

Se trata de una nueva recta. Aplicando un proceso similar al de la primera rama, considerando los puntos (2, -0.5) y (3, 0):

$$\left.\begin{array}{r}\left[1\right] -0.5=2m+n\\ \left[2\right] 0=3m+n\end{array}\right\}\underset{-1·\left[2\right]}{\Rightarrow }\left.\begin{array}{c}-0.5=2m+n\\ 0=-3m-n\\ -0.5=-m\end{array}\right\}\Rightarrow \boxed{m=0.5\Rightarrow n=-1.5}$$

En cuanto a los límites, observa que el límite inferior es x=1, ¿incluido?. Dado que la función es continua en x=1, su valor es el mismo tomando cualquiera de las dos ramas. Efectivamente, la segunda rama es una constante y por tanto en x=1 es una constante y su valor es y=1. De otro lado, la tercera rama, en x=1, tiene el mismo valor: y=0.5·1-1.5=-1. Esto quiere decir que el signo igual podrá ir en cualquiera de las dos ramas. Finalmente, la tercera rama se prolonga hasta el infinito. Por tanto, la expresión analítica de la función de la gráfica es o bien:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+3& \text{si}& -3\le x<-1\\ -1& \text{si}& 0<x\le 1\\ 0.5x-1.5& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$

O bien:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}x+3& \text{si}& -3\le x<-1\\ -1& \text{si}& 0<x<1\\ 0.5x-1.5& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.$$

En cuanto a la segunda función, tiene dos ramas. La primera es una parábola vertical centrada en el origen, con las ramas hacia abajo. Su forma es y=-x². La rama viene desde el menos infinito y llega hasta x=1, no incluido, con lo que la rama queda definida para x<1. La segunda rama es una constante, y=2 que se define para los valores a partir de x=1, incluido, con lo que x≥1. La forma final de la función a trozos queda:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-x^2& \text{si}& x<1\\ 2& \text{si}& x\ge 1\end{array}\right.$$