Resolución de límites

Consideraciones previas

Para resolver estos límites, seguiremos el procedimiento general, que consiste en sustituir el valor de x por el valor al que esta se aproxima, y operar. En caso de obtener alguna operación indeterminada, deberemos buscar el método más apropiado para resolverla, tal y como se explica en la teoría asociada.

Resolución

1.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x^2+6x}-x}$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x^2+6x}-x=\left[\infty -\infty \right] \text{IND.} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)·\left(\sqrt{x^2+6x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^2+6x}+x\right)}\underset{\left(a+b\right)·\left(a-b\right)}{=}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\cancel{x^2}+6x-\cancel{x^2}}{\sqrt{x^2+6x}+x}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right] \text{IND.} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x^2+6x}-x=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6x}{\sqrt{x^2+6x}+x}\underset{\frac{·{\displaystyle \frac{1}{x}}}{·{\displaystyle \frac{1}{x}}}}{=}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{6x}{x}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2+6x}+x}{x}}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle 6}}{{\displaystyle \sqrt{\frac{{\displaystyle x^2}}{x^2}+\frac{{\displaystyle 6x}}{x^2}}+\frac{{\displaystyle x}}{x}}}=\frac{6}{2}=3 \end{gathered}$$

2.-

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{\sqrt{5}}{x}}}$$

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{\sqrt{5}}{x}}=\left[{\infty }^0\right] \text{IND.} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{\sqrt{5}}{x}}\underset{a=e^{\ln \left(a\right)}}{=}\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{\ln \left(x^{\frac{\sqrt{5}}{x}}\right)}\underset{\ln \left(a^b\right)=b\ln \left(a\right)}{=}{e}^{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{5}}{x}·\ln \left(x\right)}=e^{\sqrt{5}·\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left(x\right)}{x}}\underset{\text{Por comparación de infinitos}}{=}{e}^{\sqrt{5}·0}=1 \end{gathered}$$

3.-

$$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{x-2}{x+3}\right)}^{\sqrt{x^2-6x}+x}}$$

Tal y como hemos visto en otros muchos ejercicios del tema, debemos comenzar por el cambio de variable, para hacer más cómodo el cálculo del límite:

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{x-2}{x+3}\right)}^{\sqrt{x^2-6x}+x}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{-x-2}{-x+3}\right)}^{\sqrt{x^2+6x}-x}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x+2}{x-3}\right)}^{\sqrt{x^2+6x}-x}=\left[1^{\infty }\right] \text{IND.} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x+2}{x-3}\right)}^{\sqrt{x^2+6x}-x}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x+2}{x-3}-1\right)}^{\sqrt{x^2+6x}-x}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{x+2-x+3}{x-3}\right)}^{\sqrt{x^2+6x}-x}=\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(\mathbf{1}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{{\displaystyle \frac{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{5}}}}\right)}^{\frac{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{5}}·\frac{5}{x-3}·\sqrt{x^2+6x}-x}= \\ =e^{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5}{x-3}·\sqrt{x^2+6x}-x}=e^{\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5}{x-3}·\stackrel{\text{apdo. 1}}{\overbrace{\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)}}}=e^{0·3}=1 \end{gathered}$$

4.-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}}$$

Este caso es bastante inmediato, y no requiere de la resolución de ninguna indeterminación:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$$

5.-

$$\boxed{\underset{x\to 3}{\lim }{e}^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{3}}-1}}}$$

$$\underset{x\to 3}{\lim }{e}^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{3}}-1}}=\left[e^{\frac{1}{0}}\right] \text{IND.}$$

Debemos calcular los límites laterales para resolver la indeterminación:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 3^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{3}}-1}}=e^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{3^{-}}{3}-1}}}=e^{\frac{1}{{\displaystyle 1^{-}-1}}}=e^{\frac{1}{{\displaystyle 0^{-}}}}=e^{-\infty }=\frac{1}{\infty }=0 \\ \underset{x\to 3^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{3}-1}}}=e^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{3^{+}}{3}-1}}}=e^{\frac{1}{{\displaystyle 1^{+}-1}}}=e^{\frac{1}{{\displaystyle 0^{+}}}}=e^{\infty }=\infty \end{gathered}$$

Como no son iguales, no existe el límite:

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }{e}^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{3}-1}}}\ne \underset{x\to 3^{+}}{\lim }{e}^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{3}-1}}}\Rightarrow \nexists \underset{x\to 3}{\lim }{e}^{\frac{1}{{\displaystyle \frac{x}{3}-1}}}$$

6.-

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}+\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|2x^2+2x\right|}}$$

En este caso, vemos que el primer sumando ya ha sido calculado en el apartado 4, con lo que:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}+\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|2x^2+2x\right|}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}}{{\displaystyle x^2+3x-5}}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle x^2+\left|x\right|}}{{\displaystyle \left|2x^2+2x\right|}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle x^2+\left|x\right|}}{{\displaystyle \left|2x^2+2x\right|}}$$

Debemos expresar la función valor absoluto como función a trozos (consulta los ejercicios del apartado enlazado para un proceso más detallado):

$$\frac{{\displaystyle x^2+\left|x\right|}}{{\displaystyle \left|2x^2+2x\right|}}=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x^2-x}{2x^2+2x}& \text{si}& x\le -1\\ \frac{x^2-x}{-2x^2-2x}& \text{si}& -1<x<0\\ \frac{x^2+x}{2x^2+2x}& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.$$

Como en 0 se produce un cambio de rama, debemos calcular los límites laterales:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}+\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|2x^2+2x\right|}=-\frac{\sqrt{5}}{5}+\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x^2-x}{-2x^2-2x}=-\frac{\sqrt{5}}{5}+\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x·\left(x-1\right)}{-2x·\left(x+1\right)}=-\frac{\sqrt{5}}{5}-\frac{1}{2} \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}+\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|2x^2+2x\right|}=-\frac{\sqrt{5}}{5}+\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2+x}{2x^2+2x}=-\frac{\sqrt{5}}{5}+\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x·\left(x+1\right)}{2x·\left(x+1\right)}=-\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Como los límites laterales son distintos, no existe el límite:

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}+\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|2x^2+2x\right|}\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}+\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|2x^2+2x\right|}\Rightarrow \nexists \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^3-x}-\sqrt{5}}{x^2+3x-5}+\frac{x^2+\left|x\right|}{\left|2x^2+2x\right|}$$

7.-

$$\boxed{\underset{x\to -5}{\lim }\sqrt{x^3-1}}$$

En este caso, x=-5 no pertenece al dominio de la función, con lo que:

$$\nexists \underset{x\to -5}{\lim }\sqrt{x^3-1}$$