Cálculo de límites laterales

Consideraciones previas

Como sabes de teoría, para determinar el valor de los límites laterales se sigue un procedimiento similar al que ya hemos visto para el cálculo del límite de una función en un punto, es decir, sustituimos la x por el valor al que se aproxima. Hay que tener presente el significado de los superíndices - y + (por ejemplo en 3^- o en 3⁺).

• a^- significa un número a la izquierda de a (o un poquito más pequeño que a). Si el número es positivo, por ejemplo 3^- sería 2.99999.... Si el número es negativo, -3^- sería -3.000...1. Si el número es cero, 0^-, estaríamos ante un número negativo (-0.000...1)
• a⁺ significa un número a la derecha de a (o un poquito más grande que a). Si el número es positivo, por ejemplo 3⁺ sería 3.000...1. Si el número es negativo, -3⁺ sería -2.999...1. Si el número es cero, 0⁺, estaríamos ante un número positivo (0.000...1)

Resolución

1.-

$$\boxed{\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x^2+x}{x^3-3}}$$

Se trata de un caso sencillo y directo:

$$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x^2+x}{x^3-3}=\frac{{\displaystyle {\left(3^{-}\right)}^2+3^{-}}}{{\displaystyle {\left(3^{-}\right)}^3-3}}=\frac{9^{-}+3^{-}}{{27}^{-}-3}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$$

Observa que, en este caso, cuando realizamos las operaciones 9^-+3^- o 27^--3 los superíndices pueden obviarse.

2.-

$$\boxed{\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\sqrt{x^2-1}-2x}$$

Esta vez es un poco más complicado, al estar el -1 justo en uno de los extremos del dominio de la función: (-∞, -1]∪[1, ∞).

$$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\sqrt{x^2-1}-2x=\sqrt{{\left(-1^{+}\right)}^2-1}-2·\left(-1^{+}\right)\underset{{\left(-1^{+}\right)}^2=1^{-}}{=}\sqrt{0^{-}}+2\left(-1^{+}\right) \nexists$$

Observa que, al elevar al cuadrado un número a la derecha de -1 obtenemos un número la izquierda de 1. Al restarle 1 obtenemos 0^-, cuya raíz cuadrada no existe, al ser un número negativo. Por tanto:

$$\nexists \underset{x\to -1^{+}}{\lim }\sqrt{x^2-1}-2x$$

Que era lo que cabía esperar al no estar -1⁺ en el dominio.

3.-

$$\boxed{\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\sqrt{x^2-1}-2x}$$

Se trata de la misma función del apartado anterior, pero aproximándonos al -1 por el lateral contrario:

$$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\sqrt{x^2-1}-2x=\sqrt{{\left(-1^{-}\right)}^2-1}-2·\left(-1^{-}\right)\underset{{\left(-1^{-}\right)}^2=1^{+}}{=}\sqrt{0^{+}}+2·1^{-}=2$$

Esta vez si existe el límite, al contrario de lo que sucedía en el apartado anterior, como cabía deducir del hecho de que -1^- si se encuentra en el dominio.

4.-

$$\boxed{\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right) \text{con} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x<0\\ \frac{1}{x+2}& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.}$$

En 0 se produce justamente un cambio de rama de la función a trozos, con lo que habrá que utilizar la que corresponda (la izquierda, en este caso):

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }3x+2=3·\left(0\right)+2=2$$

5.-

$$\boxed{\underset{x\to -2^{-}}{\lim }f\left(x\right) \text{con} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}3x+2& \text{si}& x<0\\ \frac{1}{x+2}& \text{si}& x\ge 0\end{array}\right.}$$

Se trata de la misma función del apartado anterior, pero considerando que nos acercamos ahora a 2 por la izquierda. Tenemos que considerar la segunda rama, concretamente:

$$\underset{x\to -2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2^{+}}{\lim }\frac{1}{x+2}=\frac{1}{-2^{+}+2}=\frac{1}{0^{+}}=\infty$$

6.-

$$\boxed{\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^5+1}}$$

En este caso nos queda:

$$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^5+1}=\frac{{\displaystyle {\left(-1^{-}\right)}^2+1}}{{\displaystyle {\left(-1^{-}\right)}^5+1}}\underset{\begin{array}{c}{\left(-1^{-}\right)}^2=1^{+}\\ {\left(-1^{-}\right)}^5=-1^{-}\end{array}}{=}\frac{1^{+}+1}{-1^{-}+1}=\frac{2}{0^{-}}=-\infty$$

7.-

$$\boxed{\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^5+1}}$$

Se trata de la misma función del ejemplo anterior. En este caso:

$$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^5+1}=\frac{{\displaystyle {\left(-1^{+}\right)}^2+1}}{{\displaystyle {\left(-1^{+}\right)}^5+1}}\underset{\begin{array}{c}{\left(-1^{+}\right)}^2=1^{-}\\ {\left(-1^{+}\right)}^5=-1^{+}\end{array}}{=}\frac{1^{-}+1}{-1^{+}+1}=\frac{2^{-}}{0^{+}}=\infty$$

8.-

$$\boxed{\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left|1-x\right|}{x-1}}$$

En este caso, recuerda que una función en valor absoluto se puede expresar como una función a trozos. Para ello debemos comenzar buscando los intervalos en los que la función en el interior del valor absoluto es positiva y aquellos en los que es negativa:

$$1-x=0\Rightarrow x=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1-x >0 \text{si} x<1\\ 1-x<0 \text{si} x>1\end{array}\right.$$

Cambiando de signo los intervalos en los que el valor absoluto es negativa nos queda:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1-x}{x-1}& \text{si}& x\le 1\\ \frac{-\left(1-x\right)}{x-1}& \text{si}& x>1\end{array}\right.$$

Ya podemos plantear y resolver el límite, tomando la rama que corresponde, que es la primera:

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1-x}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{-\left(x-1\right)}{x-1}=-1$$

9.-

$$\boxed{\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left|1-x\right|}{x-1}}$$

Se trata de la misma función del apartado anterior, con lo que queda:

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{-\left(1-x\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-1}{x-1}=1$$