Dominio de funciones racionales

Consideraciones previas

En el cálculo del dominio de funciones racionales debemos prestar especial atención a aquellos valores que anulan el denominador para, en principio, quitarlos del dominio.

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}}$$

$$x^2\ne 0\Rightarrow x\ne 0\Rightarrow Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{0\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x+3}{x-9}}$$

$$x-9\ne 0\Rightarrow x\ne 9\Rightarrow Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{9\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x+3}{x^2-9}}$$

En este caso, quitamos los valores que anulan el denominador...

$$x^2-9\ne 0\Rightarrow x\ne \pm \sqrt{9}\Rightarrow x\ne \pm 3$$

Quedando el dominio:

$$Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{-3,3\right\}$$

Observa que en el denominador tengo una diferencia de cuadrados ( x²-9 = x²-3² ). Recordando que suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados, podemos reescribir la función según:

$$f\left(x\right)=\frac{x+3}{x^2-9}\stackrel{\left(a+b\right)·\left(a-b\right)=a^2-b^2}{\overbrace{=}}\frac{x+3}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}=\frac{1}{x-3}$$

Podríamos haber tenido la tentación de simplificar la función antes de quitar del dominio todos los valores que anulan el denominador de la función original (3 y -3), y decir que $Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{3\right\}$, pero no sería correcto.

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x}{x^2+2x-3}}$$

$$\begin{gathered} x^2+2x-3\ne 0\Rightarrow x^2+2x-3=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·\left(-3\right)}}{2·1}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=-3\end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{-3,1\right\} \end{gathered}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^2+2x-3}}$$

Observa que tenemos el mismo denominador que en la anterior, pero el numerador presenta uno de los factores que estaba en el denominador. Aunque podemos simplificar la función, el dominio no cambia:

$$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x^2+2x-3}=\frac{x-1}{\left(x-1\right)·\left(x+3\right)}=\frac{1}{x+3}\Rightarrow Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{-3,1\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{2x+3}{{\left(x^2-1\right)}^2}}$$

$${\left(x^2-1\right)}^2\ne 0\Rightarrow x^2-1\ne 0\Rightarrow x\ne \pm \sqrt{1}\Rightarrow Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{1,-1\right\}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x-2}{x^3+2x^2-3x}}$$

Podemos sacar factor común la x en el denominador y percatarnos que el resto del polinomio ya lo hemos factorizado:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{x-2}{x^3+2x^2-3x}=\frac{x-2}{x\left(x^2+2x-3\right)}=\frac{x-2}{x\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\Rightarrow \\ \Rightarrow Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{-3,0,1\right\} \end{gathered}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{1}{x^3+4x^2+x-6}}$$

Debemos factorizar el polinomio del denominador mediante la regla de Ruffini:

$$\begin{gathered} x^3+4x^2+x-6\ne 0\Rightarrow \begin{array}{ccccc}& 1& 4& 1& -6\\ 1& & 1& 5& 6\\ & 1& 5& 6& 0\\ -2& & -2& -6& \\ & 1& 3& 0& \end{array}\Rightarrow \left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\ne 0\Rightarrow \\ \Rightarrow Do{m}_f=\mathrm{ℝ}-\left\{-3,-2,1\right\} \end{gathered}$$