Pasar valor absoluto a función trozos

Consideraciones previas

Para convertir las funciones en su correspondiente expresión por ramas debemos, en primer lugar, hacer un estudio del signo de la función. Esto consiste en buscar los puntos de corte con el eje x igualando a 0 lo que hay dentro del valor absoluto. Los valores obtenidos van a ser los puntos de cambio de rama. Además, estos puntos dividen la recta real en distintos intervalos en los que la función afectada por el valor absoluto puede ser positiva o negativa. Sustituyendo un valor cualquiera de cada intervalo en la función veremos el signo de la misma en todo el intervalo. Finalmente, en aquellos intervalos en los que la función tenga signo negativo, debe cambiarse el signo de la rama correspondiente. Vamos a ello.

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=\left|\frac{2x+1}{2}\right|}$$

Se trata de una recta afectada por el valor absoluto. Comenzamos buscando los ceros de la misma.

$$\frac{2x+1}{2}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$$

Por tanto, puede haber un cambio de signo en x=-1/2. En dicho valor habrá un cambio de rama cuando hagamos la función a trozos. Ahora se trata de establecer los intervalos de signo constante y estudiar el signo de la función en cada uno de ellos. Para ello nos valemos de un cuadro de signos.

Con lo que habrá que cambiar el signo al primer intervalo. La función a trozos, por tanto, quedará:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\left|\frac{2x+1}{2}\right|=\left\{\begin{array}{ccc}-\left(\frac{2x+1}{2}\right)& \text{si}& x\le -1/2\\ \frac{2x+1}{2}& \text{si}& x>-1/2\end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{-2x-1}{2}& \text{si}& x\le -1/2\\ \frac{2x+1}{2}& \text{si}& x>-1/2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ten presente que el signo igual, en ≤, podría haber estado, de forma alternativa, en la otra rama como ≥. Esto ocurre en todas las funciones del ejercicio.

$$\boxed{f\left(x\right)=\left|\frac{2x+1}{2}\right|+3}$$

Esta función es igual a la del apartado anterior, salvo que sumamos una constante (+3) fuera del valor absoluto. Dado que lo que hay en el interior del valor absoluto no cambia, el razonamiento y los valores utilizados para construir la función a trozos tampoco cambian, salvo que al final hay que tener en cuenta el +3. Es decir:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\left|\frac{2x+1}{2}\right|+3=\left\{\begin{array}{ccc}-\left(\frac{2x+1}{2}\right)+3& \text{si}& x\le -1/2\\ \frac{2x+1}{2}+3& \text{si}& x>-1/2\end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{-2x-1}{2}+3& \text{si}& x\le -1/2\\ \frac{2x+1}{2}+3& \text{si}& x>-1/2\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\left|-2x^2+4x+6\right|}$$

Comenzamos buscando los ceros de la parábola:

$$-2x^2+4x+6=0\Rightarrow x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·\left(-2\right)·6}}{2·\left(-2\right)}=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1\\ x_2=3\end{array}\right.$$

En este caso tenemos 3 intervalos en los que la función presenta signo constante. Recurriendo a la tabla de signos descubrimos cuál es este signo:

De manera que la función a trozos queda:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\left|-2x^2+4x+6\right|=\left\{\begin{array}{ccc}-\left(-2x^2+4x+6\right)& \text{si}& x\le -1\\ -2x^2+4x+6& \text{si}& -1<x\le 3\\ -\left(-2x^2+4x+6\right)& \text{si}& x>3\end{array}\right.\Rightarrow \\ \Rightarrow f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}+2x^2-4x-6& \text{si}& x\le -1\\ -2x^2+4x+6& \text{si}& -1<x\le 3\\ +2x^2-4x-6& \text{si}& x>3\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$f\left(x\right)=\left|\sqrt{x-2}-1\right|$$

Comenzamos, como siempre, buscando los ceros:

$$\sqrt{x-2}-1=0\Rightarrow \sqrt{x-2}=1\underset{{\left(\right)}^2={\left(\right)}^2}{\Rightarrow }{\left(\sqrt{x-2}\right)}^2={\left(1\right)}^2\Rightarrow x-2=1\Rightarrow x=3$$

Ahora, en el cuadro de signos, debemos tener en cuenta que los valores escogidos para estudiar el signo de cada intervalo deben pertenecer al dominio de la función, que por incluir una raíz cuadrada no son el conjunto de los reales, como hasta ahora:

Ahora resta solamente construir la función a trozos pedida:

$$f\left(x\right)=\left|\sqrt{x-2}-1\right|=\left\{\begin{array}{ccc}-\left(\sqrt{x-2}-1\right)& \text{si}& x\le 3\\ \sqrt{x-2}-1& \text{si}& x>3\end{array}\right.$$

Ahora, observa que estamos diciendo que la primera rama es válida para cualquier valor de x≤3. ¿Qué ocurre con x=0, por ejemplo? Efectivamente, nos queda una raíz negativa. Esto ocurre porque en realidad, el x=0 no está en el dominio, por lo que para ser precisos debemos calcular el dominio y restringir los valores de x de las ramas a aquellos que pertenezcan al dominio. Hasta ahora no había sido necesario hacer esto porque las funciones pedidas tenían el conjunto de los reales por dominio.

En el caso que nos ocupa debemos quitar lo valores de x que hagan negativa la raíz. Matemáticamente:

$$x-2\ge 0\Rightarrow x\ge 2\Rightarrow Do{m}_f=[2,\infty )$$

Llevando esta restricción a la función a trozos nos queda:

$$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc}-\left(\sqrt{x-2}-1\right)& \text{si}& 2\le x\le 3\\ \sqrt{x-2}-1& \text{si}& x>3\end{array}\right.$$