Transformaciones de puntos de una función

Consideraciones previas

Como sabemos que f(2) = 5, podemos ver como se desplaza este punto según el tipo de transformación experimentada.

Resolución

$$\boxed{y=f\left(x\right)-2}$$

Se trata de un desplazamiento vertical hacia abajo de la función, y por tanto también del punto (2, 5):

$$y=f\left(x\right)-2\underset{x=2}{\Rightarrow }y=f\left(2\right)-2=5-2=3\Rightarrow \boxed{\left(2, 3\right)}$$

$$\boxed{y=f\left(x-1\right)}$$

Se trata de un desplazamiento horizontal hacia la derecha de la función, y por tanto también del punto (2, 5):

$$y=f\left(x-1\right)\underset{x=3}{\Rightarrow }y=f\left(2\right)=5\Rightarrow \boxed{\left(3, 5\right)}$$

Hemos escogido el valor x=3 porque conocemos f(3-1)=f(2). Otra forma más intuitiva de abordar el problema sería pensar que el punto (2, 5) se desplaza hacia la derecha y pasa a ser el (3,5).

$$y=\frac{1}{5}f\left(x\right)$$

En este caso tenemos una compresión en el eje vertical, con lo que la coordenada y del punto se "comprime" 5 unidades:

$$y=\frac{1}{5}f\left(x\right)\underset{x=2}{\Rightarrow }y=\frac{1}{5}f\left(2\right)=1\Rightarrow \boxed{\left(2, 1\right)}$$

$$\boxed{y=3f\left(x\right)}$$

Ahora es una expansión en el eje vertical de 3 unidades, con lo que:

$$y=3f\left(x\right)\underset{x=2}{\Rightarrow }y=3f\left(2\right)=15\Rightarrow \boxed{\left(2, 15\right)}$$

$$\boxed{y=-f\left(x\right)}$$

Esta vez es una reflexión en el eje y, con lo que:

$$y=-f\left(x\right)\underset{x=2}{\Rightarrow }y=a-f\left(2\right)=-5\Rightarrow \boxed{\left(2, -5\right)}$$

$$\boxed{y=f\left(-x\right)}$$

Una reflexión horizontal en este caso:

$$y=f\left(-x\right)\underset{x=-2}{\Rightarrow }y=f\left(-\left(-2\right)\right)=f\left(2\right)\Rightarrow \boxed{\left(-2, 5\right)}$$

De nuevo esta vez podríamos haber seguido el razonamiento más intuitivo de, simplemente, reflejar el punto (2, 5)⇒(-2, 5).

$$\boxed{y=-3f\left(-x\right)+2}$$

En este caso existen varias transformaciones que aplicaremos de manera consecutiva: (2,5)⇒(-2, 5)⇒(-2, -15)⇒(-2, -13). Formalmente:

$$y=-3f\left(-x\right)+2\underset{x=-2}{\Rightarrow }y=-3f\left(-\left(-2\right)\right)+2=-3f\left(2\right)+2=-13\Rightarrow \boxed{\left(-2, -13\right)}$$