Dominio de la función compuesta

Consideraciones previas

En primer lugar, realizaremos la composición pedida, y posteriormente calcularemos el dominio.

Cuando se calcula el dominio de la función compuesta, puedes tener la tentación de calcular directamente el dominio a partir de la expresión de esta, pero sería un error. Hay que tener en cuenta los dominios y recorridos de las funciones que la componen. Concretamente, recuerda que, como hemos visto en teoría, cuando calculas f∘g primero actúa g sobre los valores de x y luego actúa f sobre los valores de g(x). Es decir, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes:

$$Do{m}_{g\circ f} : x\in Do{m}_f \wedge f\left(x\right)\in Do{m}_g$$

Resolución

$$\boxed{f\left(x\right)=x+3 ;\hspace{0.17em}g\left(x\right)=x^2-2x-1 ;\hspace{0.17em}f\circ g}$$

$$f\circ g=f\left[g\left(x\right)\right]=g\left(x\right)+3=x^2-2x-1+3=x^2-2x-2$$

Para el cálculo del dominio, el procedimiento sistemática que seguiremos será siempre el mismo. Debenos cumplir la condición $Do{m}_{g\circ f} : x\in Do{m}_f \wedge f\left(x\right)\in Do{m}_g$, con lo que comenzamos estudiando los dominios de las funciones:

$$\begin{gathered} Do{m}_f:-\infty <x<\infty \\ Do{m}_g:-\infty <x<\infty \end{gathered}$$

Ahora, para el cálculo del dominio de la composición debemos buscar los x que satisfacen las dos condiciones señaladas:

$$\begin{array}{cccc}Do{m}_{f\circ g}:& x\in Do{m}_g& \wedge & g\left(x\right)\in Do{m}_f\\ & -\infty <x<\infty & \cap & \underset{\left[1\right]}{\underbrace{-\infty <x^2-2x-1<\infty }}\end{array}$$

Observa que para llegar a la condición en [1] lo que hemos hecho es coger el dominio de la función f, y donde ponía x poner en su lugar g(x). Los valores de x que cumplen quedan:

$$\begin{array}{cccc}Do{m}_{f\circ g}:& x\in Do{m}_g& \wedge & g\left(x\right)\in Do{m}_f\\ & -\infty <x<\infty & \cap & -\infty <x^2-2x-1<\infty \\ & \mathrm{ℝ}& \cap & \mathrm{ℝ}\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f\circ g}=\mathrm{ℝ}$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\sqrt{x-1}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=3x+1\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}f\circ g \text{y} g\circ f}$$

Comenzamos calculando f∘g:

$$f\circ g=f\left[g\left(x\right)\right]=\sqrt{g\left(x\right)-1}=\sqrt{3x+1-1}=\sqrt{3x}$$

En cuanto a su dominio, comenzamos calculando el dominio de las funciones integrantes...

$$\begin{gathered} Do{m}_f: x-1\ge 0\Rightarrow x\ge 1 \\ Do{m}_g: -\infty <x<\infty \end{gathered}$$

Y ahora calculamos la condición del dominio de la composición de funciones:

$$\begin{array}{cccc}Do{m}_{f\circ g}:& x\in Do{m}_g& \wedge & g\left(x\right)\in Do{m}_f\\ & -\infty <x<\infty & \cap & 3x-1\ge 1\\ & \mathrm{ℝ}& \cap & x\ge \frac{2}{3}\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f\circ g}=[\frac{2}{3},\infty )$$

Ten presente que la expresión $3x-1\ge 1$ viene de sustituir x por g(x) en $x\ge 1$, que era el dominio de f.

Vamos ahora al cálculo de g∘f:

$$g\circ f=g\left[f\left(x\right)\right]=3·f\left(x\right)+1=3\sqrt{x-1}+1$$

$$\begin{array}{cccc}Do{m}_{g\circ f}:& x\in Do{m}_f& \wedge & f\left(x\right)\in Do{m}_g\\ & x\ge 1& \cap & -\infty <\sqrt{x-1}<\infty \\ & x\ge 1& \cap & x\ge 1\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f\circ g}=[1,\infty )$$

$$\boxed{f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}f\circ g}$$

$$f\circ g=f\left[g\left(x\right)\right]=\frac{g\left(x\right)}{g\left(x\right)+2}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x-1}}}{{\displaystyle \frac{1}{x-1}}+2}=\frac{1}{2x-1}$$

En cuanto al dominio de las funciones de la operación:

$$\begin{gathered} Do{m}_f: x+2\ne 0\Rightarrow x\ne -2 \\ Do{m}_g: x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1 \end{gathered}$$

$$\begin{array}{cccc}Do{m}_{f\circ g}:& x\in Do{m}_g& \wedge & g\left(x\right)\in Do{m}_f\\ & x\ne 1& \cap & \frac{1}{x-1}\ne -2\\ & x\ne 1& \cap & x\ne \frac{1}{2}\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f\circ g}=\mathrm{ℝ}-\left\{\frac{1}{2},1\right\}$$

Comenzamos co nel cálculo de la función compuesta:

$$f\circ g=f\left[g\left(x\right)\right]=\sqrt{g\left(x\right)-3}=\sqrt{\frac{x}{x+2}-3}$$

Ahora el dominio de las funciones que la componen:

$$\begin{gathered} Do{m}_f: x-3\ge 0\Rightarrow x\ge 3 \\ Do{m}_g: x+2\ne 0\Rightarrow x\ne -2 \end{gathered}$$

Y ahora vamos al cálculo del dominio de la compuesta:

$$\begin{array}{cccc}Do{m}_{f\circ g}:& x\in Do{m}_g& \wedge & g\left(x\right)\in Do{m}_f\\ & x\ne -2& \cap & \frac{x}{x+2}\ge 3\end{array}$$

Para resolver la desigualdad racional $\frac{x}{x+2}\ge 3$, despejamos (dejamos en un miembro el 0) y hacemos uso de un cuadro de signos:

$$\frac{x}{x+2}\ge 3\Rightarrow \frac{x}{x+2}-3\ge 0\Rightarrow \frac{x-3\left(x+2\right)}{x+2}\ge 0\Rightarrow \frac{-2x-6}{x+2}\ge 0$$

Los extremos de los intervalos a considerar son aquellos puntos que anulan el numerador o el denominador:

$$\begin{gathered} -2x-6=0\Rightarrow x=-3 \\ x+2=0\Rightarrow x=-2 \end{gathered}$$

Como nos debemos quedar con los ≥0, estos es el intervalo [-3,-2]. El dominio final, por tanto, queda:

$$\begin{array}{cccc}Do{m}_{f\circ g}:& x\in Do{m}_g& \wedge & g\left(x\right)\in Do{m}_f\\ & x\ne -2& \cap & \frac{x}{x+2}\ge 3\\ & x\ne -2& \cap & -3\le x\le -2\end{array}\Rightarrow Do{m}_{f\circ g}=[-3,-2)$$

$$\boxed{f\left(x\right)=-3x^2-2\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\left(x\right)=\sqrt{x+1}x\hspace{0.17em};\hspace{0.17em}g\circ f}$$

Empecemos por el cálculo de la función compuesta f compuesta con g:

$$g\circ f=g\left[f\left(x\right)\right]=\sqrt{f\left(x\right)+1}=\sqrt{-3x^2-2+1}=\sqrt{-3x^2-1}$$

Hasta aquí nada de especial... Sigamos con el procedimiento:

$$\begin{gathered} Do{m}_f: \mathrm{ℝ} \\ Do{m}_g:x+1\ge 0\Rightarrow x\ge -1 \end{gathered}$$

Vamos ahora al cálculo del dominio de la función compuesta:

$$\begin{array}{cccc}Do{m}_{g\circ f}:& x\in Do{m}_f& \wedge & f\left(x\right)\in Do{m}_g\\ & \mathrm{ℝ}& \cap & -3x^2-2\ge -1\end{array}$$

Ahora, cuando intentamos determinar $-3x^2-2\ge -1$...

$$\begin{gathered} -3x^2-2\ge -1\Rightarrow -3x^2-2+1\ge 0\Rightarrow -3x^2-1\ge 0\Rightarrow \\ \Rightarrow x=\frac{\sqrt{-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}\nexists \end{gathered}$$

Quiere decir que toda la parábola tiene igual signo. Por continuar con el mismo sistema, podemos usar un cuadro de signos:

Nos damos cuenta de que no existe solución. Efectivamente, se trata de una parábola cuyo vértice está por debajo del eje x con las ramas hacia abajo, con lo que es imposible satisfacer $-3x^2-2\ge -1$, con lo que tenemos:

$$\begin{array}{cccc}Do{m}_{g\circ f}:& x\in Do{m}_f& \wedge & f\left(x\right)\in Do{m}_g\\ & \mathrm{ℝ}& \cap & -3x^2-2\ge -1\\ & \mathrm{ℝ}& \cap & \varnothing \end{array}\Rightarrow Do{m}_{f\circ g}=\varnothing$$

Dicho de otra manera, no es posible realizar la composición pedida. Recuerda que, como hemos visto en la teoría asociada, para que exista la composición el recorrido de la primera función que actúa debe tener elementos comunes con el dominio de la segunda. En este caso, la primera función que actúa es f, cuyo recorrido Rec_f=(-∞,-2] no tiene elementos en común con Dom_g.