Encontrar una función componente de la compuesta

Consideraciones previas

Recuerda que $f\circ g=f\left[g\left(x\right)\right]$

Resolución

$$\boxed{f\circ g=x+3 ;\hspace{0.17em}f\left(x\right)=2^x ;\hspace{0.17em}¿g\left(x\right)?}$$

Si aplicamos la definición de la función compuesta señalada...

$$f\left[g\left(x\right)\right]=2^{g\left(x\right)}=x+3$$

...ahora sólo tenemos que despejar g(x)

$$\begin{gathered} 2^{g\left(x\right)}=x+3\underset{\ln \left(\right)=\ln \left(\right)}{\Rightarrow }\ln \left(2^{g\left(x\right)}\right)=\ln \left(x+3\right)\underset{\left[1\right]}{\Rightarrow }g\left(x\right)·\ln \left(2\right)=\ln \left(x+3\right)\Rightarrow \\ \Rightarrow g\left(x\right)=\frac{\ln \left(x+3\right)}{\ln \left(2\right)} \end{gathered}$$

Donde hemos aplicado en [1] que $\ln \left(a^b\right)=b\ln \left(a\right)$.

Observa que, si aplicamos el logaritmo en base 2, en lugar del logaritmo en base e (que es el logaritmo neperiano), nos quedaría:

$$g\left(x\right)=\frac{{\log }_2\left(x+3\right)}{{\log }_2\left(2\right)}={\log }_2\left(x+3\right)$$

Expresión a la que también podríamos haber llegado recordando que:

$${\log }_a\left(b\right)=\frac{\ln \left(b\right)}{\ln \left(a\right)}$$

$$\boxed{f\circ g=x+\ln \left(\frac{13}{x}\right)+11 ;\hspace{0.17em}f\left(x\right)={\left(x+2\right)}^2 ;\hspace{0.17em}¿g\left(x\right)?}$$

Siguiendo un proceso similar, tenemos:

$$\begin{gathered} f\left[g\left(x\right)\right]={\left(g\left(x\right)+2\right)}^2=x+\ln \left(\frac{13}{x}\right)+11\underset{\sqrt{}=\sqrt{}}{\Rightarrow }\sqrt{{\left(g\left(x\right)+2\right)}^2}=\sqrt{x+\ln \left(\frac{13}{x}\right)+11}\Rightarrow \\ \Rightarrow g\left(x\right)+2=\sqrt{x+\ln \left(\frac{13}{x}\right)+11}\Rightarrow g\left(x\right)=\sqrt{x+\ln \left(\frac{13}{x}\right)+11}-2 \end{gathered}$$