Solución de ecuaciones por Bolzano

Consideraciones previas

La resolución de este tipo de ecuaciones en las que no se puede despejar la incógnita algebráicamente  nos conduce a intentar buscar la solución usando el teorema de Bolzano.

Recuerda que Bolzano nos permite afirmar que una función continua en un intervalo tiene raíces en él (es decir, valores de x que la hacen 0) siempre que cambie su signo en los extremos de dicho intervalo.

Para resolver una ecuación, por tanto:

1. Buscamos la función continua que debe anularse, asociada a la ecuación
2. Buscamos un intervalo en el que la función cambie de signo
3. Vamos iterando, aproximándonos a la solución, haciendo el intervalo tan pequeño como sea necesario (ver ejercicio de aproximación de raíces de una ecuación)

Resolución

Primero definimos la función que estudiar a partir de la ecuación ${(3x+1)}^{Lnx}=2\to {(3x+1)}^{Lnx}-2=0$. Resolver esta ecuación es lo mismo que buscar las raices de la función $y={(3x+1)}^{\ln x}-2$ 

Como hemos dicho, debemos asegurarnos que la función es continua. Es una función exponencial-potencial. Su base es continua dado que es una recta (polinomio de primera grado). El exponente es el logaritmo neperiano, que es continua en todo su dominio (0, ∞). Por lo tanto vamos a dar valores a la variable x. Por ejemplo, x=1, y x=2. Veamos si cambia de signo la función para poder aplicar el teorema. Si no lo hiciera, seguiríamos dando valores:

$$\left\{\begin{array}{l}x=1\to f\left(1\right)={(3+1)}^{Ln1}-2=4^0-2=-1<0\\ x=2\to f\left(2\right)={(6+1)}^{Ln2}-2=7^{Ln2}-2=3.85-2=1.85>0\end{array}\right.$$

Por lo tanto existe un valor x=c de tal manera que la función vale cero y es la solución a nuestra ecuación. Para aproximar la solución hasta las décimas dividimos ese intervalo. Damos el valor de x=1.5 para ver si está entre x=1 y x=1.5  o entre x=1.5 y x=2:

$$f(1.5)={(5.5)}^{Ln1.5}-2=-0.0038<0\left\{\begin{array}{c}f\left(1\right)<0\\ f(1.5)<0\\ f\left(2\right)>0\end{array}\right.$$

Por lo tanto cambia de signo entre x=1.5 y x=2. Como f(1,5) está muy cerca de cero calculamos f(1,6):

$$f(1.6)={(3\times 1.6+1)}^{Ln1.6}-2=0.24>0\left\{\begin{array}{c}f\left(1.5\right)<0\\ f\left(1.6\right)>0\\ f\left(2\right)>0\end{array}\right.$$

Como vemos, la función cambia de signo entre x=1.5 y x=1.6. Como la longitud del intervalo es justamnte 0.1, podemos decir que la solución hasta las décimas es c=1,5.