Momento de un vector respecto a un punto. Aplicación teorema de Varignon

Datos

• Punto de aplicación del vector:$P(0,1,0)\Rightarrow \overrightarrow{r}=\overrightarrow{j}$ 
• Primer vector $\overrightarrow{V}=\overrightarrow{i}$ 
• Segundo vector ${\overrightarrow{V}}_2=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$
• Tercer vector ${\overrightarrow{V}}_3=\overrightarrow{i}-3·\overrightarrow{j}$ 

Resolución

Podemos calcular el momento del vector pedido simplemente aplicando un determinante de 3x3 para el cálculo del producto vectorial, tal y como se hace en este otro ejercicio. Sin embargo, dado que el vector $\overrightarrow{V}$  y su vector de posición $\overrightarrow{r}$  son unitarios y en la dirección de alguno de los ejes cartesianos, podemos, simplemente, aplicar las propiedades que conocemos del producto vectorial. De esta manera,

• El módulo el vector resultante $\left|{\overrightarrow{M}}_0\right|=\left|\overrightarrow{r}\right|·\left|\overrightarrow{V}\right|·\sin \left(\alpha \right)$ . Sabemos que $\overrightarrow{i}$  y $\overrightarrow{j}$  forman 90º entre sí, por lo que $\left|{\overrightarrow{M}}_0\right|=\left|\overrightarrow{r}\right|·\left|\overrightarrow{V}\right|·\sin \left(\alpha \right)=1·1·1=1$ 
• La dirección es perpendicular al plano formado por $\overrightarrow{i}$  y $\overrightarrow{j}$ , esto es, la dirección del eje z
• Sentido establecido por la regla de la mano derecha. En este caso, dirección $-\overrightarrow{k}$ 

Por tanto, ${\overrightarrow{M}}_o=-\overrightarrow{k}$ .

En relación al segundo y al tercer vector, ambos añaden una componente en el sentido de $\overrightarrow{j}$ . De acuerdo al teorema de Varignon, para calcular el nuevo momento, podemos sumar al ya calculado el momento de la nueva componente del vector. El momento de esta nueva componente respecto al punto considerado es 0, pues tiene igual dirección que $\overrightarrow{r}$ , y por tanto α = 0. En resumen: el momento de los nuevos vectores es el mismo que el del vector original pues sus nuevas componentes son de igual dirección que $\overrightarrow{i}$  .

Si deseas asegurarte, puedes aplicar la expresión completa del determinante 3x3 y hacer tú mismo la comprobación.