Una partícula en desplazamiento

Planteamiento inicial

Nos encontramos ante una partícula que se mueve en una sola dimensión, en el eje x, como se deduce de la ecuación de posición. Por tanto, podemos prescindir de la notación vectorial y calcular todas las magnitudes como escalares. Si nos piden las correspondientes magnitudes vectoriales, basta multiplicar la magnitud escalar por el vector unitario $\overrightarrow{i}$ . En cualquier caso, ilustramos el proceso en cada apartado. Conviene recordar que en una dimensión el vector de posición vendrá dado por: $\overrightarrow{r}\left(t\right)=x\left(t\right)\overrightarrow{i}+\cancel{y\left(t\right)\overrightarrow{j}}+\cancel{z\left(t\right)\overrightarrow{k}}$

1. El desplazamiento experimentado en el eje x viene dado por  Δx:

$$∆x=x_f-x_i=x\left(4\right)-x\left(3\right)=\left(4^2-5\left(4\right)+1.2\right)-\left(3^2-5\left(3\right)+1.2\right)=2 \text{m}$$

Siendo rigurosos, el desplazamiento es una magnitud vectorial y nos quedaría:

$$∆\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_f-{\overrightarrow{r}}_i=∆x\overrightarrow{i}+\cancel{∆y\overrightarrow{j}}+\cancel{∆z\overrightarrow{k}}=\boxed{2\overrightarrow{i} \text{m}}$$

Para el cálculo de la velocidad media en el eje x, dividimos el desplazamiento experimentado entre el tiempo empleado

 $$v_{m_x}=\frac{∆x}{∆ t}=\frac{2}{1}=2 \text{m/s}$$

Y siendo rigurosos y empleando la notación vectorial la velocidad media nos queda:

$${\overrightarrow{v}}_m=v_{m_x}\overrightarrow{i}+\cancel{v_{m_y}\overrightarrow{j}}+\cancel{v_{m_z}\overrightarrow{k}}=\boxed{2\overrightarrow{i} \text{m/s}}$$

2. Siguiendo un procedimiento similar podemos obtener una fórmula general para el cálculo del desplazamiento según el eje x. Para ello sustituimos por t + Δt (instante final) y por t (instante inicial):

$$∆x=x_f-x_i=x\left(t+∆t\right)-x\left(t\right)=\left((t+∆t{)}^2-5(t+∆t)+1.2\right)-\left(t^2-5\left(t\right)+1.2\right)=∆t^2-5∆t+2t∆t =∆t(∆t+2t-5)\text{m}$$

Sin embargo, una vez más, si queremos ser rigurosos debemos aplicar notación vectorial, quedando la fórmula general del vector desplazamiento de la partícula:

$$∆\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_f-{\overrightarrow{r}}_i=∆x\overrightarrow{i}+\cancel{∆y\overrightarrow{j}}+\cancel{∆z\overrightarrow{k}}=\boxed{∆t(∆t+2t-5)\text{m}}$$

Hemos considerado t como el instante inicial y t + Δt el instante final. Si consideramos los valores del apartado anterior, t = 3s y Δt = 1 s y sustituimos en la ecuación general del vector desplazamiento calculada, obtenemos el mismo valor.

3. El cálculo de la velocidad en cualquier instante se puede hacer mediante la derivada del vector de posición. En este caso:

$$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$$

En este caso, sólo nos interesa el eje x, quedándonos

$$v_x=\frac{dx\left(t\right)}{dt}=2t-5 \text{m/s}$$

Sin embargo nos piden que hagamos el cálculo mediante límites:

$$v_x=\underset{∆t\to 0}{\lim }\frac{∆x}{∆ t}=\frac{\cancel{∆t}(∆t+2t-5)}{\cancel{∆t}}=2t-5 \text{m/s}$$

En cualquiera de los casos, siendo rigurosos y utilizando la notación vectorial, el vector velocidad nos queda:

$$\overrightarrow{v}\left(t\right)=v_x\left(t\right)\overrightarrow{i}+\cancel{v_y\left(t\right)\overrightarrow{j}}+\cancel{v_z\left(t\right)\overrightarrow{k}}=\boxed{(2t-5)\overrightarrow{i}\text{m/s}}$$